给定矩阵中相邻行中相同列元素的所有绝对差的最小和

问题描述

给定一个 $n \times m$ 的矩阵，矩阵中的元素为整数。需要找到相邻两行中相同列元素的绝对差的最小和。

例如，对于以下矩阵：

1 3 5
2 4 1
1 0 0

其中，第一行和第二行中相同列元素的绝对差为 $|1-2|+|3-4|+|5-1|=10$；第二行和第三行中相同列元素的绝对差为 $|2-1|+|4-0|+|1-0|=8$。因此，该矩阵中相邻行中相同列元素的所有绝对差的最小和为 $8$。

解法

该问题可以通过动态规划来解决。具体来说，我们可以用 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 行矩阵中，包括第 $i$ 行，第 $i-1$ 行和第 $i$ 行中相同列元素的绝对差的最小和，其中第 $i$ 行中第 $j$ 列的元素必须被选中。

因此，我们可以得到以下状态转移方程：

$$ dp[i][j]=\min_{k=1}^{m} {dp[i-1][k]+\left|a_{i,j}-a_{i-1,k}\right|} $$

其中，$a_{i,j}$ 表示矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$m$ 表示矩阵中的列数。最终的答案为 $\min_{j=1}^{m} dp[n][j]$。

代码实现

以下为该问题的代码实现。

def min_adj_rows_diff(mat: List[List[int]]) -> int:
    n, m = len(mat), len(mat[0])
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    for j in range(m):
        dp[0][j] = 0  # 第一行的相邻行差为0
    for i in range(1, n):
        for j in range(m):
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(m):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + abs(mat[i][j] - mat[i-1][k]))
    return min(dp[n-1])

代码中，我们使用了一个二维数组 $dp$ 来存储状态。代码的时间复杂度为 $O(nm^2)$，空间复杂度为 $O(nm)$。

测试样例

以下为该算法的测试样例。

assert min_adj_rows_diff([[1, 3, 5], [2, 4, 1], [1, 0, 0]]) == 8
assert min_adj_rows_diff([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) == 0
assert min_adj_rows_diff([[1]]) == 0