给定矩阵的所有行中最大公共子数组的长度

问题描述

给定一个矩阵，矩阵的每行都是一个整数数组。求出所有行中最大公共子数组的长度。

例如，矩阵为：

1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7

则最大公共子数组为 [4]，长度为 1。

解决方案

朴素算法

朴素的解决方案是枚举每两行之间的所有可能的子数组，然后找到它们的最长公共子数组，最后取所有最长公共子数组中的最大值。

具体实现可以使用两层循环，外层循环枚举所有行，内层循环枚举当前行之后的所有行，对于任意两行，如果它们的长度都大于等于当前最大公共子数组长度，则考虑它们的所有可能的子数组，求出它们的最长公共子数组，更新当前最大公共子数组长度。

朴素算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是矩阵中每行的长度。

哈希算法

哈希算法是一种更高效的解决方案。它基于以下思想：如果两个数组的哈希值相同，那么它们可能有相同的子数组。

具体实现可以使用哈希表存储每个数组的哈希值，然后依次枚举每两行之间所有可能的子数组，对于每个子数组求出哈希值，搜索哈希表中是否有相同的哈希值，如果有，则比较它们的元素是否相同，求出它们的最长公共子数组。

哈希算法的时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，其中 $n$ 是矩阵中每行的长度。

动态规划算法

动态规划算法是一种更高效的解决方案。它基于以下思想：设 $dp_{i,j}$ 表示第 $i$ 行和第 $j$ 行之间的最长公共子数组长度，则有以下递推关系式：

$$ dp_{i,j} = \begin{cases} dp_{i-1,j-1}+1 & (a_{i-1} = b_{j-1}) \ 0 & (a_{i-1} \neq b_{j-1}) \end{cases} $$

其中 $a_{i-1}$ 和 $b_{j-1}$ 分别表示矩阵中第 $i$ 行和第 $j$ 行的第 $i-1$ 个元素和第 $j-1$ 个元素。

具体实现可以使用一个 $n \times n$ 的二维数组 $dp$ 存储最长公共子数组长度，其中 $n$ 是矩阵中行的个数。初始化 $dp$ 中所有元素为 $0$，然后依次枚举每两行之间的可能的最长公共子数组，维护当前的最大值。

动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

最优解

最优解是一种更高效的解决方案，其时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$。具体实现很复杂，这里不做介绍。

代码片段

下面是使用朴素算法实现求解矩阵中行的最长公共子数组长度的代码片段：

def max_common_subarray(mat):
    n = len(mat)
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if len(mat[i]) < ans or len(mat[j]) < ans:
                continue
            for k in range(len(mat[i])):
                for l in range(len(mat[j])):
                    if k+l >= len(mat[i]) or k+l >= len(mat[j]) or mat[i][k+l] != mat[j][l]:
                        ans = max(ans, l)
                        break
                    ans = max(ans, l+1)
    return ans

下面是使用哈希算法实现求解矩阵中行的最长公共子数组长度的代码片段：

def max_common_subarray(mat):
    from collections import defaultdict
    n = len(mat)
    ans = 0
    hash_table = defaultdict(list)
    for i in range(n):
        h = hash(tuple(mat[i]))
        hash_table[h].append(i)
    for h in hash_table:
        if len(hash_table[h]) < 2:
            continue
        for i in range(len(mat[hash_table[h][0]])):
            for j in range(i+1, len(mat[hash_table[h][0]])):
                if j-i+1 <= ans:
                    continue
                subarray = mat[hash_table[h][0]][i:j+1]
                ok = True
                for k in range(1, len(hash_table[h])):
                    sub = mat[hash_table[h][k]]
                    h_sub = hash(tuple(sub[i:j+1]))
                    if h_sub != h or sub[i:j+1] != subarray:
                        ok = False
                        break
                if ok:
                    ans = j-i+1
    return ans

下面是使用动态规划算法实现求解矩阵中行的最长公共子数组长度的代码片段：

def max_common_subarray(mat):
    n = len(mat)
    ans = 0
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(len(mat[i])):
                for l in range(len(mat[j])):
                    if k == 0 or l == 0:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], 0)
                    elif mat[i][k-1] == mat[j][l-1]:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1]+1)
                    else:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], 0)
                    ans = max(ans, dp[i][j])
    return ans

注意，上述代码片段并没有防止数组越界等错误，需要根据具体问题进行修改。