用Java实现 Coppersmith Winograd 算法

简介

Coppersmith Winograd 算法是一种矩阵乘法的优化算法，时间复杂度为 $O(n^{2.376})$，比传统矩阵乘法的 $O(n^3)$ 更高效。

原理

Coppersmith Winograd 算法是通过分治策略将两个大矩阵划分成四个子矩阵，然后利用一些技巧（如 Strassen 算法）来减少子矩阵的运算量。最后将四个子矩阵组合成结果矩阵。

具体来说，如果将两个 $n \times n$ 的矩阵相乘，可以将它们分别划分成四个 $\frac{n}{2} \times \frac{n}{2}$ 大小的子矩阵，对应以下式子：

$$ A = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} \ A_{2,1} & A_{2,2} \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} B_{1,1} & B_{1,2} \ B_{2,1} & B_{2,2} \end{bmatrix} $$

可以得到以下运算公式：

$$C = AB = \begin{bmatrix} C_{1,1} & C_{1,2} \ C_{2,1} & C_{2,2} \end{bmatrix}$$

$$C_{1,1} = A_{1,1}B_{1,1}+A_{1,2}B_{2,1}$$

$$C_{1,2} = A_{1,1}B_{1,2}+A_{1,2}B_{2,2}$$

$$C_{2,1} = A_{2,1}B_{1,1}+A_{2,2}B_{2,1}$$

$$C_{2,2} = A_{2,1}B_{1,2}+A_{2,2}B_{2,2}$$

Coppersmith Winograd 算法的核心是通过以下且不仅以下的七个公式将矩阵乘法的时间复杂度由 $O(n^3)$ 降到 $O(n^{2.376})$：

$$ M_1 = (A_{1,1} + A_{2,2})(B_{1,1} + B_{2,2}) $$

$$ M_2 = (A_{2,1} + A_{2,2})B_{1,1} $$

$$ M_3 = A_{1,1}(B_{1,2} - B_{2,2}) $$

$$ M_4 = A_{2,2}(B_{2,1} - B_{1,1}) $$

$$ M_5 = (A_{1,1} + A_{1,2})B_{2,2} $$

$$ M_6 = (A_{2,1} - A_{1,1})(B_{1,1} + B_{1,2}) $$

$$ M_7 = (A_{1,2} - A_{2,2})(B_{2,1} + B_{2,2}) $$

$$ C_{1,1} = M_1 + M_4 - M_5 + M_7 $$

$$ C_{1,2} = M_3 + M_5 $$

$$ C_{2,1} = M_2 + M_4 $$

$$ C_{2,2} = M_1 - M_2 + M_3 + M_6 $$

实现

Coppersmith Winograd 算法的实现过程分为两步：

1. 对输入矩阵进行划分并计算出七个 $M$ 值。
2. 将七个 $M$ 值组合成结果矩阵。

下面是用 Java 语言实现 Coppersmith Winograd 算法的代码片段，其中矩阵的存储方式采用二维数组：

public int[][] coppersmithWinograd(int[][] A, int[][] B) {
    int n = A.length;
    int[][] C = new int[n][n];
    if (n == 1) {
        C[0][0] = A[0][0] * B[0][0];
    } else {
        int[][] A11 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] A12 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] A21 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] A22 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] B11 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] B12 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] B21 = new int[n / 2][n / 2];
        int[][] B22 = new int[n / 2][n / 2];

        // 将输入矩阵划分成四个子矩阵
        split(A, A11, A12, A21, A22);
        split(B, B11, B12, B21, B22);

        int[][] M1 = coppersmithWinograd(add(A11, A22), add(B11, B22));
        int[][] M2 = coppersmithWinograd(add(A21, A22), B11);
        int[][] M3 = coppersmithWinograd(A11, sub(B12, B22));
        int[][] M4 = coppersmithWinograd(A22, sub(B21, B11));
        int[][] M5 = coppersmithWinograd(add(A11, A12), B22);
        int[][] M6 = coppersmithWinograd(sub(A21, A11), add(B11, B12));
        int[][] M7 = coppersmithWinograd(sub(A12, A22), add(B21, B22));

        int[][] C11 = add(sub(add(M1, M4), M5), M7);
        int[][] C12 = add(M3, M5);
        int[][] C21 = add(M2, M4);
        int[][] C22 = add(sub(add(M1, M3), M2), M6);

        // 将四个子矩阵组合成结果矩阵
        join(C11, C12, C21, C22, C);
    }
    return C;
}

总结

Coppersmith Winograd 算法在矩阵乘法优化领域具有重要意义，可用于加速诸如神经网络的计算。理解该算法需要一定的矩阵运算基础，希望本文的介绍能够对读者有所帮助。