如何在给定焦点和短轴的情况下找到椭圆的方程？

圆锥截面，通常称为圆锥曲线，是在平面与圆锥相交时形成的。这些部分相交的角度决定了它们的形状。因此，圆锥截面分为四种类型：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些类型中的每一种都有自己的一组方程和数学属性。下面讨论椭圆。

椭圆

椭圆是当平面以小于直角但大于在圆锥顶点处形成的角度 (α) 的角度 (β) 与圆锥相交时生成的圆锥截面。换句话说，当平面以角度 β 切割圆锥体时生成椭圆，使得 α<β<90 ^o 。

如上图所示，锥体和平面以小于直角但大于 α 的角度 β 相交以产生椭圆。

椭圆方程

以 (h, k) 为中心且长轴平行于 x 轴的椭圆的标准方程由下式给出：

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ,

where the coordinates of the vertex are (h±a, 0), coordinates of co-vertex are (h, k±b) and the coordinates of foci are (h±c, k), where c² = a² – b².

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水平椭圆

以 (h, k) 为中心且长轴平行于 y 轴的椭圆的标准方程由下式给出：

$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$ ,

where the coordinates of the vertex are (h, k±a), coordinates of co-vertex are (h±b, k) and the coordinates of foci are (h, k±c), where c² = a² – b².

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垂直椭圆

如何在给定焦点和短轴的情况下找到椭圆的方程？

解决方案：

To find the equation of an ellipse, we need the values a and b. Now, we are given the foci (c) and the minor axis (b). To calculate a, use the formula c² = a² – b². Substitute the values of a and b in the standard form to get the required equation.

Let us understand this method in more detail through an example.

Example: Say, an ellipse centered at origin with foci (±4, 0) and minor axis (0, ±3).

Given b = 3 and c = 4.

Put these in the formula c² = a² – b² to find a.

a² = 3² + 4²

a² = 25

a = 5

As the ellipse lies on x-axis, the equation is of the form $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ .