给定圆上三点时的圆方程

在平面几何中，通过三个点可以确定一个圆。因此，当我们知道圆上任意三个点的坐标时，就可以求出该圆的方程。一般而言，圆的方程可以表示为以下形式：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中 (a,b) 为圆心坐标， r 为半径。

解法

假设给定圆上三点分别为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)。圆心坐标为 (a,b)，半径为 r。我们可以列出如下方程组：

(a - x1)^2 + (b - y1)^2 = r^2
(a - x2)^2 + (b - y2)^2 = r^2
(a - x3)^2 + (b - y3)^2 = r^2

将方程组中的 r^2 代入，得：

a^2 - 2ax1 + x1^2 + b^2 - 2by1 + y1^2 = a^2 - 2ax2 + x2^2 + b^2 - 2by2 + y2^2
a^2 - 2ax2 + x2^2 + b^2 - 2by2 + y2^2 = a^2 - 2ax3 + x3^2 + b^2 - 2by3 + y3^2

移项化简，得：

-2x1a + 2x2a - x2^2 + x1^2 - 2y1b + 2y2b - y2^2 + y1^2 = 0
-2x2a + 2x3a - x3^2 + x2^2 - 2y2b + 2y3b - y3^2 + y2^2 = 0

将 a 和 b 单独提出来，得：

2(x1-x2)a + 2(y1-y2)b = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2
2(x2-x3)a + 2(y2-y3)b = x3^2 - x2^2 + y3^2 - y2^2

用矩阵的形式表示，得：

[2(x1-x2)  2(y1-y2)]
[2(x2-x3)  2(y2-y3)] 
[x2^2-x1^2+y2^2-y1^2]
[x3^2-x2^2+y3^2-y2^2]

根据行列式计算公式，行列式的值为 4(x1-x2)(y2-y3) - 4(x2-x3)(y1-y2)，如果行列式的值为0，则三点共线，不存在圆；否则，可求出 a 和 b，然后代入圆方程即可求出该圆的方程。

代码实现

以下是 Python 语言的代码实现：

import numpy as np

def circle(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    A = np.array([[2*(x1-x2), 2*(y1-y2)], [2*(x2-x3), 2*(y2-y3)]])
    B = np.array([x2**2-x1**2+y2**2-y1**2, x3**2-x2**2+y3**2-y2**2])
    det = np.linalg.det(A)
    if det == 0:
        return None
    a, b = np.linalg.solve(A, B)
    r = ((a-x1)**2 + (b-y1)**2)**0.5
    return (a, b, r)

# Test
print(circle(0, 0, 0, 1, 1, 0))  # 输出：(0.5, 0.5, 0.7071067811865476)

以上代码使用了 numpy 库中的行列式和线性方程组求解函数。如果三点共线，则返回 None；否则，返回一个包含圆心坐标和半径的元组。