通过示例了解切比雪夫不等式

什么是切比雪夫不等式

切比雪夫不等式，又称为切比雪夫定理，是概率论与数理统计中应用广泛的一条不等式。其表述为：对于任意的概率分布，至少有1 - 1/k^2 的观测值距离其数学期望的距离不超过 k 倍标准差。

简单来说，就是对于任何一个概率分布，k 倍标准差以外的概率至多为 1/k^2。

为什么要学习切比雪夫不等式

切比雪夫不等式可以帮助我们在不知道概率分布具体形式的情况下，对样本的一些重要统计量进行估计，例如均值和方差等。在机器学习领域，很多算法都需要对样本数据进行基本统计量的估计，因此切比雪夫不等式也成为了机器学习领域中必不可少的知识点。

切比雪夫不等式示例

下面通过一个例子来帮助大家更好地理解切比雪夫不等式。

假设我们有一个正态分布的样本数据集，其均值为 60，标准差为 10，我们想估计样本中所有小于 40 或者大于 80 的数据所占的比例。

根据切比雪夫不等式，我们知道：对于任何一个概率分布，k 倍标准差以外的概率至多为 1/k^2。因此，如果我们取 k=2，则有：

P(|X-60|>=20) <= 1/2^2 = 1/4

将上式变形，我们可以得到：

P(X<=40 or X>=80) = P(|X-60|>=20) <= 1/4

上式的含义是，样本中所有小于 40 或者大于 80 的数据所占的比例不超过 1/4。

因此，我们可以估计得到，样本中所有小于 40 或者大于 80 的数据所占的比例不会超过 25%。

总结

切比雪夫不等式是概率论与数理统计中应用广泛的一条不等式，可以帮助我们在不知道概率分布具体形式的情况下，对样本的一些重要统计量进行估计。在机器学习领域中，它也是必不可少的知识点之一。