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本题目为 Gate CS Mock 2018 的第 46 题，属于计算机科学领域，需要解决的问题为如何实现线性时间求解最长公共子序列（LCS）问题。

问题描述

给定两个字符串 S1 和 S2，写一个线性时间算法来查找它们之间的最长公共子序列（LCS）。

解题思路

本题要求线性时间复杂度的解法，需要结合动态规划思想来求解最长公共子序列（LCS）问题。

我们可以建立一个二维数组 dp，其中 dp [ i ][ j ] 表示 S1[0:i] 和 S2[0:j] 之间的 LCS 长度。那么我们可以得到如下的递推式：

if s1[i] == s2[j]:
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

其中，如果 s1[i] == s2[j]，表示当前位置匹配，那么 dp[i][j] 应该等于 dp[i-1][j-1] + 1；如果不匹配，那么 dp[i][j] 应该等于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 中的较大值。

最终 DP 表格的右下角就是两个字符串的最长公共子序列的长度。

而最长公共子序列本身可以通过 DP 表格进行回溯获得，具体步骤为：

1. 从 DP 表格的右下角开始，判断当前位置的字符是否相等。

2. 如果相等，则说明这个字符是最长公共子序列中的一个字符，记录下来。

3. 根据 DP 表格的递推式，有以下几种情况:

   • 如果 dp[i-1][j] == dp[i][j]，说明当前字符在 S1 中没有匹配到，需要向上回溯；

   • 如果 dp[i][j-1] == dp[i][j]，说明当前字符在 S2 中没有匹配到，需要向左回溯；

   • 如果既不满足上面两个条件，说明当前字符既可以向上回溯，也可以向左回溯，可以任选其一。

4. 重复步骤 1-3，直至回溯到 DP 表格的左上角。

可以看出，由于回溯的过程中涉及到多次查表和判断字符相等的操作，因此需要 O(m+n) 的时间复杂度。

代码实现

以下是完整的 Python 代码实现：

def lcs(s1, s2):
    # 创建 DP 表格
    dp = [[0] * (len(s2) + 1) for _ in range(len(s1) + 1)]

    # 更新 DP 表格
    for i in range(1, len(s1) + 1):
        for j in range(1, len(s2) + 1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:  # 匹配
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:  # 不匹配
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

    # 回溯解法
    i, j = len(s1), len(s2)
    lcs_str = ''
    while i > 0 and j > 0:
        if s1[i-1] == s2[j-1]:
            lcs_str += s1[i-1]
            i, j = i-1, j-1
        elif dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    
    # 倒序输出最长公共子序列
    return lcs_str[::-1]

至此，我们便完成了本题的代码实现。

参考资料

1. 最长公共子序列（LCS），GeeksforGeeks.

2. 最长公共子序列（动态规划），阿靖～要做个好前端.

3. LintCode 77 最长公共子序列，胡云迪.