门 | GATE CS Mock 2018 |设置 2 |第 39 题

本题是 GATE CS Mock 2018 设置 2 的第 39 题。它要求程序员实现一个算法来计算一个数组中每个元素的下一个较大元素的索引，如果下一个较大的元素不存在，索引应该为空。

问题描述

问题的输入是一个大小为 $n$ 的数组 $a$，输出是一个大小为 $n$ 的数组 $b$。数组 $b$ 的第 $i$ 个元素应该是数组 $a$ 中第一个比 $a_i$ 大的元素的索引。如果不存在这样的元素，则 $b_i$ 应该为空。

例如

假设输入数组 $a$ 为：

[4, 6, 3, 2, 8, 1]

则输出数组 $b$ 应该是：

[1, 4, 4, 4, null, null]

这是因为：

• $a_0$ 是 4，$a_1$ 比 4 大，其下标为 1。
• $a_1$ 是 6，$a_4$ 比 6 大，其下标为 4。
• $a_2$ 是 3，$a_4$ 比 3 大，其下标为 4。
• $a_3$ 是 2，$a_4$ 比 2 大，其下标为 4。
• $a_4$ 是 8，不存在下一个更大的元素，$b_4$ 为空。
• $a_5$ 是 1，不存在下一个更大的元素，$b_5$ 为空。

解决方案

题目要求的算法可以使用栈来实现。我们可以从左到右扫描输入数组 $a$，并将每个元素的索引推入一个空栈 $stack$ 中。对于每个元素 $a_i$，我们需要找到下一个比它更大的元素的索引。我们可以将元素 $a_i$ 的索引与栈顶元素的索引的对应值进行比较：

• 如果 $a_i$ 大于栈顶索引对应的值 $a_{stack.top}$，则我们已经找到 $a_{stack.top}$ 的下一个较大元素，将 $stack.top$ 弹出，索引 $stack.top$ 对应的值为 $i$。
• 如果 $a_i$ 不大于 $a_{stack.top}$，则将 $i$ 推入栈中。

重复以上步骤，直到扫描完整个数组 $a$。

对于扫描完后栈中剩余的元素，它们没有下一个较大的元素，所以需要将它们的索引对应的值设置为 $null$。

下面是 Python 代码的实现：

def next_largest_index(a):
    n = len(a)
    b = [None] * n
    stack = []

    for i in range(n):
        while stack and a[i] > a[stack[-1]]:
            top = stack.pop()
            b[top] = i
        stack.append(i)

    while stack:
        top = stack.pop()
        b[top] = None

    return b

复杂度分析

我们只对输入数组 $a$ 扫描了一遍，这一遍扫描的时间复杂度是 $O(n)$。在栈中插入和弹出元素的操作的时间复杂度都是 $O(1)$。所以总时间复杂度是 $O(n)$。

对于空间复杂度，我们使用一个大小为 $n$ 的数组 $b$ 和一个大小最多为 $n$ 的栈。因此，总空间复杂度是 $O(n)$。

总结

本题是一道典型的使用栈解决问题的例子。题目要求的算法是基于单调栈的思想，可以用于解决一些有关 Next Greater Element 的问题。当我们遇到这种问题时，可以尝试使用栈来实现。