题目介绍

本题为 GATE-CS-2015（套装1）的第 60 题，考察了程序员对于计算机科学基础知识的理解和应用能力。题目描述如下：

给定一个无向图，图中有 $n$ 个节点和 $m$ 条边。请你计算图中的最小割。其中，最小割被定义为沿某些边分离图中的两个节点集合，使得这两个节点集合分别在这个割中，且所分离的边的权重之和最小。假设图中不存在自环和重边。请使用前缀和优化算法，计算最小割的时间复杂度应该为 $\Theta(mn^2)$。

解题思路

要计算图中的最小割，我们需要找到一个最小的割，使得沿着割的边分离图中的两个节点集合。但是最小割问题是 NP-hard 问题，所以我们需要借助现有的算法来更有效地解决这个问题。

本题中提示我们使用前缀和优化算法，该算法基于 Ford-Fulkerson 算法，可以在不超过 $\Theta(mn^2)$ 的时间复杂度内计算出最小割。算法步骤如下：

• 首先，我们需要建立图的邻接矩阵表示，并初始化残量图。在残量图上运行前缀和算法之前，必须定义一个路径搜索函数来查找增广路径。
• 当我们找到了增广路径时，我们可以利用该路径修改残量图，并将增广路径中的所有边标记为已使用。
• 重复步骤 2，直到找不到增量路径为止。此时，所有的割都被确定，我们可以计算其权重和，即图的最小割。

算法的时间复杂度是 $\Theta(mn^2)$，因为路径搜索算法的时间复杂度是 $\Theta(n)$，我们可以在每条增广路径的前缀和阶段中检查 $m$ 条边，而总共增广不超过 $n$ 次路径。

参考代码

下面是一份 Python 代码，实现了前缀和优化方案。以下代码仅供参考，实际实现中需要根据具体情况作出适当调整。

def min_cut(n, m, graph):
    '''
    Function to calculate the minimum cut of a graph using
    Prefix Sum Optimization algorithm.
    Args:
    n: int, number of nodes
    m: int, number of edges
    graph: list of tuples, where each tuple represents an edge
    between two nodes and its weight
    Returns:
    int, minimum cut
    '''
    # Build the adjacency matrix for the graph
    adj = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    for u, v, w in graph:
        adj[u][v] += w
        adj[v][u] += w
        
    # Initialize the residual graph to the original graph
    res = [row.copy() for row in adj]
    
    # Define the path finding function
    def dfs(u, t, visited):
        visited[u] = True
        
        if u == t:
            return True
        
        for v in range(n):
            if res[u][v] > 0 and not visited[v]:
                if dfs(v, t, visited):
                    res[u][v] -= 1
                    res[v][u] += 1
                    return True
        
        return False
    
    # Run the prefix sum algorithm
    cut = float("inf")
    
    for _ in range(n - 1):
        visited = [False] * n
        
        if dfs(0, n - 1, visited):
            for i in range(n):
                if visited[i]:
                    for j in range(n):
                        if not visited[j]:
                            cut = min(cut, res[i][j])
    
    # Return the minimum cut
    return cut

以上是一份 Python 代码，实现了前缀和优化方案。可能需要注意的是，在残量图上搜索增广路径的函数应尽可能快地返回结果。另外，在前缀和过程中，还需要找到并标记所有使用的路径，这可以通过修改邻接矩阵实现。