题目介绍：门 | GATE-CS-2015（套装1）|第 65 题

该题是一个计算机科学领域的算法题目，涉及到图论中的最短路径问题。

题意

给定一扇门，门口有一堆箱子。每个箱子上标有一些标签，两个标签之间的距离定义为它们在某个字符串中的编辑距离（即需要添加、修改、删除几个字符才可以从一个标签变换成另一个标签）。假设门可以打开任何一个标签距离门口不超过 $K$ 的箱子，问如何从门口到达指定箱子最短需要走多少距离。

解题思路

这道题可以用经典的 Dijkstra 算法解决，时间复杂度为 $O(E \log V)$。

具体来说，我们可以把每个箱子都看做图上的一个节点，节点之间边的权重即为它们标签之间的编辑距离。然后建立一个起点为门口，终点为目标箱子的有向带权图 $G$，对 $G$ 运行 Dijkstra 算法，得到从门口到达目标箱子的最短路径。

在实现 Dijkstra 算法时，我们需要使用一个优先队列来维护未确定最短路径的节点，每次选择队列中权值最小的节点进行扩展。同时，为了方便在队列中查找节点，我们可以使用哈希表来记录节点的位置。

代码实现

以下是用 Python 语言实现的 Dijkstra 算法，其中 adj_list 表示邻接表，source 表示起点，target 表示终点，K 表示门的半径，label_dist 表示标签之间的距离：

import heapq
import collections

def dijkstra(adj_list, source, target, K, label_dist):
    n = len(adj_list)
    dist = [float('inf')] * n
    dist[source] = 0
    heap = [(0, source)]
    pos = {source: 0}
    visited = [False] * n
    
    while heap:
        d, u = heapq.heappop(heap)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        if u == target:
            break
        for v, w in adj_list[u]:
            if label_dist[u][v] <= K and dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                if v not in pos:
                    pos[v] = len(pos)
                    heap.append((dist[v], v))
                    heapq._siftdown(heap, 0, len(heap) - 1)
                else:
                    i = pos[v]
                    heap[i] = (dist[v], v)
                    heapq._siftdown(heap, 0, i)
                    heapq._siftup(heap, i)
    
    return dist[target] if dist[target] != float('inf') else -1

以上代码中，heapq 是 Python 内置的堆操作库，collections 则用于初始化邻接表和标签之间的距离。注意在实现时需要考虑一些边界条件，比如门打不开的情况，图不连通的情况等等。

参考资料

• GATE 2015 CS Set 1 Question 65
• Dijkstra's Algorithm