计算长度为 K 的节点序列中至少包含一个黑边的数量

在计算图的路径数量时，经常需要计算长度为 K 的节点序列中至少包含一个黑边的数量。黑边指的是一条连接两个相邻节点的边，而白边则是连接不相邻节点的边。

解析

要计算长度为 K 的节点序列中至少包含一个黑边的数量，可以考虑使用排除法。具体来说，我们需要计算长度为 K 的节点序列中不包含任何黑边的数量，记作 $A$，然后用总数量减去这个结果，即 $N - A$，就可以得到至少包含一个黑边的数量。

具体实现时，可以使用动态规划的方法。假设 $dp[i][j]$ 表示长度为 $i$，以节点 $j$ 结尾的节点序列中不包含任何黑边的数量，那么有如下递推公式：

$$ dp[i][j] = \sum_{k \in nei(j)} dp[i-1][k] - dp[i-2][j] \qquad (i > 2) $$

其中 $nei(j)$ 表示节点 $j$ 的相邻节点集合，$\sum$ 表示对集合中的所有元素求和。

接下来我们分别对公式中的两个部分进行解释。

• $\sum_{k \in nei(j)} dp[i-1][k]$

这一部分表示在长度为 $i-1$ 的节点序列中以相邻节点 $k$ 结尾的数量之和。也就是说，我们可以从以相邻节点 $k$ 结尾的所有长度为 $i-1$ 的节点序列中，添加一个以节点 $j$ 结尾的白边，得到一个以节点 $j$ 结尾、长度为 $i$ 的节点序列。

• $- dp[i-2][j]$

这一部分表示在长度为 $i-2$ 的节点序列中以节点 $j$ 结尾的数量。可以看作特殊情况：以 $j$ 结尾的节点序列中，只包含一个节点，即不存在黑边，所以需要额外减去这种情况的数量。

最终的答案为 $N - A = \sum_{j=1}^n dp[K][j]$，即长度为 $K$，以任意节点结尾的节点序列中不包含任何黑边的数量之和。

代码实现

下面是 Python 代码的实现，时间复杂度为 $O(Kn^2)$：

def count_sequences(n: int, K: int) -> int:
    # 构造邻接矩阵
    graph = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    black_edges = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5), (4, 5), (5, 6), (4, 7), (6, 7), (7, 8)]
    for i, j in black_edges:
        graph[i][j] = graph[j][i] = 1

    # 动态规划
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(K+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[1][i] = 1
    for i in range(2, K+1):
        for j in range(1, n+1):
            s = sum(dp[i-1][k] for k in range(1, n+1) if graph[j][k])
            dp[i][j] = s - dp[i-2][j]

    # 计算答案
    return sum(dp[K][j] for j in range(1, n+1))

需要注意的是，如果输入的图不是固定的，需要根据实际情况构造邻接矩阵。此外，当 $K=1$ 时，结果直接为 $n$，不需要进行动态规划的计算。