GATE CS Mock 2018 - 设置 2 - 31题

本题是一道典型的动态规划问题，需要解决最小化矩阵链乘积的问题，下面给出详细的解题思路和代码实现。

问题描述

给定n个矩阵的尺寸，将其依次相乘得到一个最终结果的矩阵，求所需的最小计算次数。

解题思路

对于任意一组相邻的矩阵i和j，其计算次数可以表示为:

cost((i, j)) = cost(i, k) + cost(k+1, j) + dim(i-1)*dim(k)*dim(j)

其中，k的范围为(i,j-1)，dim(i)表示第i个矩阵的行数，dim(i-1)表示第i个矩阵的列数。

我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。定义dp[i][j]表示矩阵[i,j]相乘所需的最小计算次数，则有：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + dim[i-1]*dim[k]*dim[j])

其中，k的范围为(i,j-1)，dim[i-1]表示第i个矩阵的列数，dim[j]表示第j个矩阵的行数。

初始化dp[i][i]=0，表示一个矩阵本身相乘的计算次数为0。

代码实现

以下是本题的Python代码实现。

def matrixChainOrder(dims):
    n = len(dims) - 1
    dp = [[0 for j in range(n)] for i in range(n)]
    
    for L in range(2, n+1):
        for i in range(n-L+1):
            j = i + L - 1
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                cost = dp[i][k] + dp[k+1][j] + dims[i]*dims[k+1]*dims[j+1]
                if cost < dp[i][j]:
                    dp[i][j] = cost
    
    return dp[0][n-1]

总结

本题的解题思路比较经典，也是动态规划算法的一个典型应用。尽管在记录子问题最优解时，需要存储一些额外的信息，但通过建立这样一个状态转移方程，使得整个问题可以高效地解决。

希望以上介绍能够对大家理解和掌握动态规划算法有所帮助！