GATE CS Mock 2018年 | 问题4

这道题目要求在一个无向图中，找出所有的割点。割点是指当去掉此节点时，原来连通的图会被分成两个或更多个不连通的子图。

解题思路

我们可以使用 Tarjan 算法来解决这个问题。

割点符合以下两种情况之一：

1. 当节点不为根节点时，它的一个子节点没有回溯到它的祖先节点。这时可以判断该节点为割点。
2. 当根节点有多个子节点时，那么这个节点就是割点。

使用 Tarjan 算法遍历整个图，当满足割点条件后，就将该节点作为割点来记录下来。最后返回所有的割点集合即可。

算法实现

以下是使用 Python 实现 Tarjan 算法来查找割点的代码片段：

def cut_points(graph: List[List[int]]) -> List[int]:
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    ids = [0] * n
    lows = [0] * n
    parent = [-1] * n
    is_cut_point = [False] * n
    id = 0

    def dfs(node):
        nonlocal id
        visited[node] = True
        ids[node] = lows[node] = id
        id += 1
        child_count = 0
        cut_point = False

        for neighbor in graph[node]:
            if not visited[neighbor]:
                parent[neighbor] = node
                child_count += 1
                dfs(neighbor)
                lows[node] = min(lows[node], lows[neighbor])
                # 判断是否为割点
                if parent[node] == -1 and child_count > 1:
                    cut_point = True
                elif parent[node] != -1 and lows[neighbor] >= ids[node]:
                    cut_point = True
            elif neighbor != parent[node]:
                lows[node] = min(lows[node], ids[neighbor])

        if cut_point:
            is_cut_point[node] = True

    for i in range(n):
        if not visited[i]:
            dfs(i)

    return [i for i, is_cp in enumerate(is_cut_point) if is_cp]

算法分析

Tarjan 算法的时间复杂度为 O(V + E)，其中 V 是节点数量，E 是边数量。最坏情况下，每个节点都是割点，时间复杂度为 O(V)。空间复杂度为 O(V)，需要保存一些额外信息。

总结

这道问题考察了对图割点的理解和 Tarjan 算法的掌握。实现起来不难，但是需要注意一些细节，例如割点判断的判断条件。