生成一个表示二叉树每个垂直级别节点的 GCD 的数组

在计算机科学中，二叉树是一种重要的数据结构。二叉树包含了许多节点，每个节点可以有左右两个儿子节点。在这里，我们将介绍如何生成一个表示二叉树每个垂直级别节点的 GCD 的数组。

首先，让我们来回顾一下什么是 GCD。GCD 的全称是 Greatest Common Divisor，即最大公约数。对于两个或多个整数，它们的最大公约数是可以被每个数整除的最大正整数。例如，对于数字 8 和 12，它们的最大公约数是 4，因为 4 是 8 和 12 的公约数，而且没有比 4 更大的公约数。

接下来，我们来看看如何计算一个二叉树的每个垂直级别节点的 GCD。假设我们有一个二叉树，如下所示：

        1
       / \
      2   3
     / \  / \
    4   5 6  7

我们可以按照层级遍历这个二叉树，并计算出每个垂直层级的 GCD。具体地，对于每个垂直层级，我们可以将该层级上的所有节点的值取出，并计算它们的 GCD。

现在让我们来看看如何实现这个算法。我们可以使用两个辅助函数，一个将所有节点值保存到一个数组中，另一个计算该数组的 GCD。以下是基于 Python 的实现：

import math

def get_gcd(nums):
    """
    计算数组中所有数字的 GCD
    """
    result = nums[0]
    for num in nums:
        result = math.gcd(result, num)
    return result

def get_vertical_gcds(root):
    """
    生成一个表示二叉树每个垂直级别节点的 GCD 的数组
    """
    if not root:
        return []

    queue = [(root, 0)]
    level_map = {}
    while queue:
        node, level = queue.pop(0)

        if level in level_map:
            level_map[level].append(node.val)
        else:
            level_map[level] = [node.val]

        if node.left:
            queue.append((node.left, level - 1))
        if node.right:
            queue.append((node.right, level + 1))

    result = []
    for level, nums in sorted(level_map.items()):
        gcd = get_gcd(nums)
        result.append(gcd)

    return result

这个算法首先定义了 get_gcd 函数，它用于计算一个数组中所有数字的 GCD。接着，我们定义了 get_vertical_gcds 函数，它采用层级遍历来遍历二叉树，并计算每个垂直层级的 GCD。

具体来说，我们首先初始化一个字典 level_map，用于保存每个垂直层级上的节点值。我们使用一个队列 queue 来进行层级遍历，并将每个节点和它的层级加入到队列中。

在遍历队列时，我们首先弹出队列的第一个元素，然后将该节点的值添加到 level_map 的对应层级中。接着，我们将它的左、右子树加入到队列中，并将它们的层级加一或减一，以便计算垂直层级。

最后，我们对 level_map 中的每个层级进行遍历，并调用 get_gcd 函数来计算该层级上的所有节点值的 GCD。这些 GCD 值将保存到结果数组 result 中，并返回该数组作为结果。

现在我们已经完成了二叉树每个垂直层级的 GCD 计算。该算法的时间复杂度为 O(N log N)，其中 N 是节点数。我们使用一个字典来保存每个层级上的节点值，因此空间复杂度为 O(N)。

感谢您阅读本文，希望它对您了解二叉树相关算法有所帮助！