设置分区是NP完整的

设置分区问题：设置分区问题将数字数组划分为两个子集，以使这两个子集的总和相同。设S为一组数字，A为总和为S1的数字子集，则存在另一个子集，其中包含元素总和为S2的其余元素(S – A) ，并且S1等于S2 。

问题陈述：给定一个N个数的集合S ，任务是确定集合是否包含S的两个分区，并且两个分区的总和完全相同。

说明：
问题的一个实例是为问题指定的输入。集合分区问题的一个实例是集合S ，任务是检查是否存在S个元素的总和为sum的两个不重叠的分区。由于NP-Complete问题是NP和NP-hard都存在的问题，因此证明问题为NP-Complete的陈述的证明包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that. (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。因此，要证明问题是NP完全的，然后证明问题出在NP上，并且任何NP完全的问题都可以还原为NP，例如，如果B是NP完全并且B≤P ^C对于NP中的C，则C是NP -完全的。因此，可以使用以下两个命题得出结论：集划分问题是NP-Complete：

设置分区问题在NP中：
如果NP中存在任何问题，则给定一个“证书”，该证书可以解决该问题并提供该问题的一个实例(在这种情况下为集合S以及两个分区A和A’ )，则可以证明多项式时间的证书。这可以通过以下方式完成：

1. 对于A中的每个元素x和A’中的每个x’ ，验证是否覆盖了所有属于S的元素。
2. 令S1为0， S2为0
3. 对于A中的每个元素x ，将该值添加到S1 。
4. 对于A’中的每个元素x’ ，将该值添加到S2中。
5. 验证S1与S2相同。

该算法将线性时间花费在数字集的大小上。

设置分区问题是NP-Hard：
为了证明独立集问题是NP-Hard，请将已知的NP-Hard问题简化为该问题。进行减少，从中可以将子集总和问题简化为集合分区问题。子集问题以数字S和目标总和t的集合形式提供输入，该问题的目的是找到属于S的子集T ，其总和与t相同。令S为S的成员之和。现在，将S’= S∪{s-2t}馈入Set Partition问题。

现在证明，计算集分区的问题确实可以归结为子集和的计算。减少可以通过以下两个命题证明：

现在，让我们考虑一组数字T ，其总和等于t (子集总和)，那么S中的其余元素(假设O )将具有总和o = s – t 。让我们假设原始集合等于T’= T∪(s – 2t) ，其总和等于t’ 。
现在，以下观察成立：

o     = s – t 
o – t = s – 2t, Difference in sum between O and T.
t’     = t + (s – 2t)
       = s – t
       = o, the sum of T’ and O are equal.

因此，可以将原始集合划分为两个总和(s – t)的子集。因此，满足了设置分区的问题。
现在假设存在S’ = S∪{s-2t}的等和分区(A，A’) 。每个分区的总和由下式给出：

$a = \frac{s + (s - 2*t)}{2} = (s - t)$

将包含元素{s – 2t}的分区视为A’ 。设A = A’- {s – 2t} 。 A中元素的总和由下式给出：

A = s – t – {s – 2t}
   = t

同样， S’– S = {s – 2t} 。因此， A是S的子集，总和等于t 。

因此，满足了子集和问题。