设置分区为NP完成

设置分区问题：设置分区问题将数字数组划分为两个子集，使得这两个子集中的每一个的总和相同。设S是一组数字，A 是总和为S1的数字的子集，那么存在另一个子集，其中包含总和为S2的元素 (S – A)的其余部分，并且S1 等于 S2 。

问题陈述：给定N 个数字的集合 S ，任务是确定该集合是否包含S 的两个分区，并且它们的和完全相同。

说明：
问题的一个实例是为问题指定的输入。设置分区问题的一个实例是一组S，并且任务是检查是否存在具有元素作为总和的总和S的任何两个非重叠的分区。由于 NP-Complete 问题是一个既属于NP又属于 NP-hard的问题，因此问题是 NP-Complete 的证明由两部分组成：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that. (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能将每个 NP 问题都化简为另一个 NP 问题以始终显示其 NP-Completeness。因此，证明一个问题是 NP-Complete 则证明该问题在 NP 中并且任何 NP-Complete 问题都可以简化为，即如果 B 是 NP-Complete 并且 B ≤ P ^C对于 NP 中的 C，则 C 是 NP -完全的。因此，可以使用以下两个命题得出 Set 划分问题是 NP-Complete 的结论：

集合分区问题在 NP 中：
如果任何问题在 NP 中，那么，给定一个“证书”，它是问题的解决方案和问题的一个实例（一个集合S和两个分区A和A’ ，在这种情况下），可以证明多项式时间内的证书。这可以通过以下方式完成：

1. 对于 A 中的每个元素x和A’中的每个 x’ ，验证属于S 的所有元素都被覆盖。
2. 设S1为 0， S2为 0
3. 对于 A 中的每个元素x将该值添加到S1 。
4. 对于 A’ 中的每个元素x’将该值添加到S2 。
5. 验证S1是否与S2相同。

该算法在数字集的大小上花费线性时间。

集合分区问题是 NP-Hard：
为了证明独立集问题是 NP-Hard 问题，将已知的 NP-Hard 问题简化为该问题。执行一个归约，子集和问题可以从这个归约到集合分割问题。子集问题提供作为一组数字S和目标总和t 的输入，该问题旨在找到属于S的子集 T ，其总和与t相同。让 s 是 S的成员之和。现在，将S’ = S ∪ {s − 2t}输入到 Set Partition 问题中。

现在证明计算集合分区的问题确实归结为子集和的计算。归约可以通过以下两个命题来证明：

现在，让我们考虑一组总和等于t （子集总和）的数字 T ，那么 S 中剩余的元素（假设O ）将具有总和o = s – t 。让我们假设原始集合等于T’ = T ∪ (s – 2t)其总和等于t’ 。
现在以下观察结果成立：

o     = s – t 
o – t = s – 2t, Difference in sum between O and T.
t’     = t + (s – 2t)
       = s – t
       = o, the sum of T’ and O are equal.

因此，原始集合可以被划分为每个sum (s – t) 的两个子集。因此，满足集合分割问题。
现在假设存在 S’ = S ∪ {s − 2t}的等和划分(A, A’) 。每个分区的总和由下式给出：

$a = \frac{s + (s - 2*t)}{2} = (s - t)$

将包含元素{s – 2t}的分区视为A’ 。让A = A’- {s – 2t} 。 A中元素的总和由下式给出：

A = s – t – {s – 2t}
   = t

此外， S’ – S = {s – 2t} 。所以A是 S的子集，总和等于t 。

因此，满足子集和问题。

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