Shor的因式分解算法

Shor的因式分解算法：

• Shor的因式分解算法由Peter Shor提出。
• 这表明量子力学允许因式分解在多项式时间内执行，而不是使用经典算法后实现的指数时间。
• 这可能会对数据安全领域产生巨大影响，这是基于大量素数分解的概念。
• 确实存在许多用于整数乘法的多项式时间算法(例如Euclid算法)，但是不存在用于分解的多项式时间算法。
• 因此，Shor提出了一种算法，即Shor的因式分解算法，该算法可对L位的非素数N进行因式分解。
• 量子算法比经典算法好得多，因为它们基于量子傅立叶变换。
• 经典计算机上的运行时间为O [exp(L ^1/3 (log L) ^2/3 )] ，而量子计算机上的运行时间为O(L ³ ) 。
• 因此，Shor的算法原理上表明，量子计算机能够在多项式时间内分解非常大的数。

Shor的算法取决于：

• 模块化算术
• 量子并行
• 量子傅立叶变换

该算法表示为：

给定一个奇数的复合数N ，找到一个严格地在1到N之间的整数d ，该整数除以N。

Shor的算法包括以下两个部分：

• 将因式分解问题转换为寻找时期问题。这部分可以用经典方法来实现。
• 使用量子傅立叶变换找到周期或量子周期发现，并负责量子加速，并利用量子并行性。

在Shor算法，输入是无质数N和输出是N非细节因素

INPUT (N) —> SHOR’S ALGORITHM —> OUTPUT (Non-trivial factor of N)

算法：它包含几个步骤，仅在步骤2中需要使用量子计算机。

1. 选择任意随机数，让我们说r ，使r 使得它们彼此互质。
2. 量子计算机用于确定函数f _r的未知周期p _，N (x)= r ^x mod N。
3. 如果p是一个奇数整数，则返回到步骤1 。否则，继续下一步。
4. 由于p是一个偶数整数，因此(r ^{p / 2} – 1)(r ^{p / 2} + 1)= r ^p – 1 = 0 modN 。
5. 现在，如果r ^{p / 2} + 1 = 0 mod N的值，请返回到步骤1 。
6. 如果r ^{p / 2} + 1！= 0 mod N的值，否则转到下一步。
7. 计算d = gcd(r ^{p / 2} -1，N) 。
8. 要求的答案是“ d ”。

经典部分(订单查找问题)：
这是定单查找问题的经典部分。给定x和N ，使得x 和gcd(x，N)= 1 。 x的阶数是最小的正整数y，因此x ^y = 1(mod N) 。

1. 挑选一个随机数n ，使n 。计算gcd(n，N) 。
2. 这可以使用Euclid算法来完成。
3. 如果gcd(n，N)！= 1 ，则存在非平凡因数N.If (x + p)= n ^{x + p} mod N = n ^x mod N = f(x) 。
4. 如果r为奇数，则返回步骤1 。
5. 如果n ^{p / 2} = -1(mod N) ，则返回到步骤1 。
6. 的GCD(N ^{P / 2} +/- 1，N)是N的非平凡的因子。

量子部分：

This is the quantum order finding part. Choose a power of 2, then
Q = 2L such that N² <= Q <= 2N²

并考虑f = {0，1，2，…，Q-1}

式中，f(Y)= 1 _{^/(Q)1/2Σx = 0时}^Q-1 I F(X)I W ^XY且w = EXP(2πI / Q)，即^第q^个单位根。

• 让我们使用一个示例执行Shor算法：分解一个奇数N(令N = 17)。
• 选择一个整数Q，使N ² <= Q≤2 N ² (让Q = 324)。
• 然后，随机选择任何整数n，使gcd(n，N)= 1，(让我们选择整数为n = 7)。
• 然后创建两个量子寄存器(这些寄存器应纠缠在一起，以使输入寄存器的崩溃对应于输出寄存器的崩溃)
  • 输入寄存器：必须包含足够的量子位来表示与Q-1一样大的数字(即最多323，因此我们需要9个量子位)。
  • 输出寄存器：必须包含足够的量子位以表示最大为(N – 1)的数字。 (即，最多16个，因此我们需要4个量子位)。

代码 ：

Python

from qiskit import IBMQ
from qiskit.aqua import QuantumInstance
from qiskit.aqua.algorithms import Shor
 
# Enter your API token here
IBMQ.enable_account('ENTER API TOKEN HERE') 
provider = IBMQ.get_provider(hub='ibm-q')
 
# Specifies the quantum device
backend = provider.get_backend('ibmq_qasm_simulator')
 
print('\n Shors Algorithm')
print('--------------------')
print('\nExecuting...\n')
 
# Function to run Shor's algorithm
# where 21 is the integer to be factored
factors = Shor(35)
 
result_dict = factors.run(QuantumInstance(
    backend, shots=1, skip_qobj_validation=False))
 
 # Get factors from results
result = result_dict['factors']
 
print(result)
print('\nPress any key to close')
input()

输出 ：

Shors Algorithm
- - - - - - - - - - - - -
Executing...
[[5,7]]
Press any key to close

上面代码的输出显示N = 35的因数5和7。

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