Euclid的除法算法–实数| 10级数学

Euclid的除法算法是一种计算两个给定正整数的最高公共因子(HCF)的技术。两个正整数a和b的HCF是最大的正整数d划分a和b。要了解Euclid的除法算法，我们首先需要了解Euclid的除法引理。

欧几里得司引理

Euclid的Division Lemma给出了Division的所有组件之间的关系。让我们看一下Euclid的Lemma部门的陈述：

 For any 2 positive integer a & b there exists a unique integers q & r, 

Such that:  a = b x (q + r), 

where 0 <= r < b

让我们从视觉上了解Euclid的Division Lemma。在下图中，股息27为a ，除数8为b。

商3是q ，余数3是r

如您在下图中所看到的：

因此，除法引理：a = bx(q + r)可以写成：

Divident = (Divisor x Quotient) + Remainder

• Euclid的Divison引理有许多与整数可除性有关的应用
• 它可以用来寻找 两个数字的HCF。
• HCF代表最高公因子。

使用除法引理找出两个数的HCF

The process of finding the HCF of two numbers using EUCLID’S DIVISION LEMMA is called “EUCLID’S DIVISION ALGORITHM”.

示例1：让我们找到135和255的HCF吗?

解决方案：

步骤1：通过将255除以135，将除法引数应用于255和135。

第2步：现在，余数变为除数，前一个除数变为除数

步骤3：再次将除法引理应用于这对新的股利和除数

步骤4：现在15是我们的新除数，120是新的股息。

使余数为零的除数是两个数的HCF。

因此15是255和135的HCF。

示例2：使用Euclid的Divison算法查找867和255的HCF?

解决方案：

Step 1:  Since 867 > 255, we apply the Division Lemma to 867 and 255, to get

                                            867  =  255  x  3 + 102 

Step 2: Since the Remainder 102 ≠ 0, we apply the divison lemma to 867 and  255, to get 

                                           255 = 102  x  2  + 51

Step 3: We consider the new divisor 102 and the new Remainder 51 and apply the divison lemma to get

                                           102  =  51  x  2 + 0

The remainder has now become zero, so our procedure stops. Since the divisor at this stage is 51, the HCF of 255 and 867  is 51 .

示例3：使用Euclid的Divison算法查找4052和12576的HCF?

解决方案：

Step 1: Since 12576 > 4052 , we apply the Division Lemma to 867 and 255, to get

                                           12576  =  4052  x  3 + 420

Step 2: Since the Remainder 420 ≠  0 , we apply the divison lemma to 12576 and  4052, to get

                                          4052 = 420  x  9  +  272

Step 3: We consider the new divisor 420 and the new Remainder 272 and apply the divison lemma to get

                                          420 =  272  x  1 + 148

 We consider the new divisor 272 and the new Remainder 148 and apply the divison lemma to get

                                          272  =  148  x  1  + 124

 We consider the new divisor 148 and the new Remainder 124 and apply the divison lemma to get

                                         148  =  124  x  1  +  24

 We consider the new divisor 124 and the new Remainder 24 and apply the divison lemma to get

                                         124  =  24  x  5  +  4

 We consider the new divisor 24 and the new Remainder 4 and apply the divison lemma to get

                                         24 = 4  x  6  +  0

The remainder has now become zero, so our procedure stops . Since the divisor at this stage is 4, the HCF of 4052 and 12576 is 4.