定理–圆的任意点的切线垂直于通过接触点的半径–圆| 10级数学

切线是从外部点绘制的直线，该点在圆的圆周上恰好一个点处接触圆。圆的切线可以是无限的。这些切线遵循某些特性，这些特性可用作在圆上执行数学计算的恒等式。

这里，在本文中，我们将学习一种这样的特性，即，在圆的任何点处的切线都垂直于通过接触点的半径。

证明：圆的任意点的切线垂直于通过接触点的半径

设点A处有一个圆C(0，r)和一个切线l 。

建造

步骤1：使B以外的任何点在线A上。

步骤2：加入OB。

步骤3：假设OB与C中的圆圈相交。

证明

根据先验知识，我们知道，在所有连接点O(即圆心与l上的点(l是圆的切线))的线段中，垂直线最短于l。

O是圆的中心，圆的半径将是固定的长度，因此我们可以说：

OC = OA(半径)

OB = OC + BC。

因此，OC

⇒OA

切线(l)上所有其他点的情况相同。

因此，OA比将O连接到l上任意点的任何其他线段都短。

因此，OA

因此，圆的任何一点处的切线都垂直于通过接触点的半径。

基于定理的样本问题

问题1：给定一个圆心为O的圆。从外部点P切出两个切线到给定圆上。求出两个半径之间的角度和圆的两个切线之间的角度之和。

解决方案：

The angles formed between the tangents and the radii is 90 degree. 

Since the sum of angles of the quadrilaterals is 360 degrees. And we have two 90 degrees angles formed within it.

Hence the remaining sum of angles i.e sum of angles formed between both radius and the angles between both the tangents is 360-180=180 degrees. 

问题2：假定CA是从圆心到圆心的切线，则求出角度∠CBA。问题中提到了半径的长度和基准长度。

解决方案：

给定线是从中心到切线，因此我们得出结论，它与定理成直角。

Hence, we can apply trigonometric formulas to get the ∠CBA

tan(∠CBA) = CA/AB 
tan(∠CBA) = 3/4 

∠CBA=37 degree

问题3：在给定的图中，O是圆的中心。如图所示，从圆外的R点开始，RM和RN切线接触M和N处的圆。如果OR的长度= 10 cm，圆的半径= 5 cm，那么每个切线的长度是多少?

解决方案：

Given that OM = 5 cm and OR = 10 cm 
In right ∆OMR, 

OR^2=OM^2+MR^2 
⇒MR^2=OR^2−OM^2 
⇒MR^2=100−25 
MR=5√3 cm. 
Also NR=5√3 cm. 

Hence the length of each tangent is 5√3 cm.