切线定律

三角学是一个数学领域，它使用三角比来确定三角形边的角度和未知长度。有六个三角比：sin、cos、tan、cosec、sec 和 cot。每个比率显示特定角度值的特定值。角度可以用弧度或度数表示。

切线定律

切线定律是描述直角三角形边和角之间关系的三角定律。切线规则描述了三角形边和角的和与差之间的联系。切线规则可以应用于任何具有两条边和一个角或一个边和两个角的三角形，以确定其余部分。切线定律与正弦和余弦定律一样，在数学中有着广泛的应用。角 A、B 和 C 与边 a、b 和 c 相对的三角形的切线定律如下：

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$

简而言之，切线规则指出，直角三角形的任何两个给定边的差与总和的比率与差的一半的切线与这些边之和的一半的切线之比相同。

证明

Let ABC be a right triangle with sides opposite to ∠A, ∠B, ∠C being of the lengths a, b and c respectively. Then, by using the law of sines, we have:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Let, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=k$

⇒ a = ksin A and b = ksinB

Thus, a – b = k (sin A – sin B) and a + b = k (sin A + sin B)

⇒ $\frac{a - b}{a + b} = \frac{sin A - sin B}{sin A + sin B}$    ….(1)

Since, sinA – sinB = $2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$ and sinA + sinB = $2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

Substituting the above values in equation (1), we have:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}}{2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}}$

⇒ $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$

Hence proved. 

示例问题

问题 1. 在三角形 ABC 中，a = 10，b = 7，∠C = 80°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 96° = 84°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}.$

So, $\frac{10-7}{10+7}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}$

⇒ $\frac{3}{17}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}$

⇒ $tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{3}{17}tan42\degree=0.40436$

⇒ $\frac{1}{2}(A-B)=22.01°$

⇒ A – B = 44.02°.

问题 2. 在三角形 ABC 中，a = 5，b = 3，∠C = 96°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 96° = 84°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$.

So, $\frac{5-3}{5+3}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}\\⇒ \frac{2}{8}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{2}{8}tan42\degree=0.2251\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=12.7°$

⇒ A – B = 25.40°.

问题 3. 在三角形 ABC 中，a = 9，b = 3，∠C = 96°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 96° = 84°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$.

So, $\frac{9-3}{9+3}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}\\⇒ \frac{6}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{1}{2}tan42\degree=0.4502\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=24.23°$

⇒ A – B = 48.46°.

问题 4. 在三角形 ABC 中，a = 8，b = 4，∠C = 80°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 80° = 100°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$.

So, $\frac{8-4}{8+4}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{100\degree}{2}]}\\⇒ \frac{4}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[50\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{1}{3}tan42\degree=0.3972\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=21.66°$

⇒ A – B = 43.32°.

问题 5. 在三角形 ABC 中，a = 6，b = 2，∠C = 80°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 80° = 100°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$.

So, $\frac{6-2}{6+2}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{100\degree}{2}]}\\⇒ \frac{4}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[50\degree]}\\⇒ tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{1}{3}tan42\degree=0.3972\\⇒ \frac{1}{2}(A-B)=12.66°$

⇒ A – B = 25.32°.

问题 6. 在三角形 ABC 中，a = 9，b = 3，∠C = 70°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 70°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 70° = 110°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}$.

So, $\frac{9-3}{9+3}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{110\degree}{2}]}$

⇒ $\frac{6}{12}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[110\degree]}$

⇒ A – B = 19.02°.

问题 7. 在三角形 ABC 中，a = 10，b = 5，∠C = 96°。求 A – B 的值。

解决方案：

The angle sum property of a triangle states that ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Since it is given that ∠C = 80°.

⇒∠A + ∠B=  180°- ∠C  = 180° – 96° = 84°

As per the law of tangents, $\frac{a-b}{a+b}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{A+B}{2}]}.$

So, $\frac{10-5}{10+5}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan[\frac{84\degree}{2}]}$

⇒ $\frac{5}{15}=\frac{tan[\frac{A-B}{2}]}{tan\frac{1}{2}[84\degree]}$

⇒ $tan\frac{1}{2}(A-B)=\frac{3}{17}tan42\degree=0.40436$

⇒ A – B = 69.42°.