📜  从等式确定圆锥截面

📅  最后修改于: 2021-06-22 23:18:00             🧑  作者: Mango

圆锥截面是当平面以不同角度与右圆锥相交时生成的曲线。圆锥截面的名称中具有定义,它是通过切割圆锥体而形成的截面。每种类型的交点都提供不同类型的曲线。根据平面相交的角度,曲线的形状会发生变化,并形成不同的曲线,例如抛物线,双曲线,椭圆形等。

我们可以从相交处获得以下曲线:

  1. 圆圈
  2. 抛物线
  3. 双曲线
  4. 椭圆

每条曲线的方程式都有某些共同的特征。让我们研究它们中的每一个,看看如何从它们的方程式中识别它们。

圆圈

下图表示一个圆,其圆心由O给出,半径是将圆心连接到圆上任何点的线。

其等式由下式给出:

(x – h) 2 +(y – k) 2 = r 2

其中(h,k)是圆的中心,并且半径由“ r”给出。可以重新排列此等式以使其具有以下形式:

x 2 + y 2 -2hx -2kx + h 2 + k 2 = r 2

从方程中识别圆

一个圆在其方程式中将同时具有x和y平方,且系数均为非零。 x 2和y 2必须具有相同的符号。一旦我们知道它是圆的方程,就可以恢复曲线。

例如:

抛物线

固定线称为Directrix,点称为焦点。

抛物线的标准方程式

以x轴为轴,经过(a,0)的原点和焦点的标准抛物线方程,由下式给出:

y 2 = 4ax

下图显示了不同类型的抛物线及其方程式。

从方程式中识别抛物线

从展开方程中识别抛物线方程。我们只需要注意一件事。抛物线方程应具有y或x平方,但不能同时具有两者。其余的值可以是任何值。如果方程式有x或y平方,但不是两个都平方。然后可以以抛物线的标准方程式的形式对其进行重新排列。

例如:

椭圆

上面定义中提到的两点称为椭圆的焦点。

以x轴为长轴,y轴为短轴的椭圆的标准方程由下式给出:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

其中,c 2 = a 2 – b 2

如果椭圆的长轴在y轴上,依此类推。然后,等式由下式给出:

\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1

从方程式中识别椭圆:与圆形相似,椭圆也具有x和y正方形。但是不同之处在于它们将具有不同的系数。

例如:

双曲线

双曲线的标准方程式为

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

同样在这里,c 2 = a 2 – b 2

在上述情况下,横轴是x轴,共轭轴是y轴。如果轴反转,则方程将变为

\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1

从方程式中识别双曲线:与圆相似,双曲线也具有x和y平方。但是不同之处在于它们将具有不同的系数,并且符号将相反。

例如:

让我们看一下有关这些概念的一些示例问题

样本问题

问题1:从扩展方程中识别曲线。

y 2 -4y + 2 = 12x

解决方案:

问题2:从扩展方程中识别曲线:

4x 2 + 9y 2 = 36

解决方案:

问题3:根据扩展方程确定曲线:

7x 2 – 9y 2 = 36

解决方案:

问题4:给定曲线的扩展方程式,将其识别出来,然后将其恢复为标准形式。

x 2 + y 2 + 6y = 27

解决方案:

问题5:根据给定的表达式确定曲线并公式化方程。

x 2 + y 2 + 4x + 6x = 12

解决方案: