凸优化-圆锥组合

什么是凸优化？

凸优化是指优化意义下的“凸函数最小化”问题。凸函数是指函数$y=f(x)$上任意两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的线段全部落在函数上方的函数。凸函数具有许多优良性质：局部最小值即为全局最小值、矩阵求导等。

什么是圆锥组合？

圆锥组合是一种将向量“拼凑”起来的技术。圆锥组合是指：对于若干个向量$x_1,\ldots,x_n$和正实数$\theta_1,\ldots,\theta_n$，定义其圆锥组合为线性组合$\sum_{i=1}^n\theta_ix_i$。

凸优化如何与圆锥组合联系起来？

凸优化理论告诉我们：凸集加凸集还是凸集。当我们需要将两个优化问题融合在一起时，我们可以想到使用凸集。由于凸集加凸集还是凸集，我们可以将约束条件写成圆锥组合的形式。

举个例子，如果我们需要优化一个线性规划问题$$ \begin{aligned} \underset{x}{\text{minimize}}\quad & c^Tx\ \text{subject to}\quad & Ax=b\ & x\geq 0 \end{aligned} $$

其中，$c,x\in\mathbb{R}^n,A\in\mathbb{R}^{m\times n},b\in\mathbb{R}^m$。如果我们需要将其与一个二次规划问题$$ \begin{aligned} \underset{y}{\text{minimize}}\quad & y^TAy+d^Ty+f\ \text{subject to}\quad & 0\leq y\leq 1 \end{aligned} $$

其中，$y\in\mathbb{R}^m,d,f\in\mathbb{R}$相关联，我们可以将其写成$$ \begin{aligned} \underset{x,y}{\text{minimize}}\quad & c^Tx+y^TAy+d^Ty+f\ \text{subject to}\quad & Ax=b\ & x\geq 0\ & 0\leq y\leq 1 \end{aligned} $$

这就是说，我们将二次规划问题的约束条件使用圆锥组合的形式加入了线性规划问题的约束条件中。这个新的问题对于广义凸函数理论有着更加普适的适用性。

怎样使用凸优化-圆锥组合？

有很多开源的凸优化-圆锥组合的算法包，例如CVXOPT、SCS、ECOS等等。这些算法包的使用方法基本相同：首先定义问题，然后使用算法包的优化函数得到优化结果。

下面以ECOS算法包为例，介绍详细使用方法。

首先，我们需要安装ECOS算法包。可以使用以下命令在Python环境下安装ECOS算法包。

!pip install ecos

安装完成后，即可开始使用ECOS算法包。

例如，我们需要使用ECOS算法包求解上述混合优化问题。我们可以首先定义问题：python import ecos import numpy as np c = np.random.randn(10) A = np.random.randn(5, 10) b = np.random.randn(5) d = np.random.randn(5) f = np.random.randn(1) G = np.concatenate([np.eye(5), -np.eye(5)], axis=0) h = np.concatenate([np.ones(5), np.zeros(5)], axis=0) sol = ecos.solve(c, G, h, A, b, d, f)这个混合规划问题具有10个变量、5个线性等式约束、5个0/1值约束和一个二次项。

接着，我们使用ECOS算法包计算解：python sol = ecos.solve(c, G, h, A, b, d, f)最终，变量的解为```python x = sol['x'] y = sol['y']

在实际应用中，我们可以根据自己的需要，通过修改约束条件、迭代次数等等，来解决不同的凸优化-圆锥组合问题。

## 总结

凸优化-圆锥组合是将凸优化理论和向量拼凑技术相结合的一种技术手段。通过将不同类型的约束条件进行拼凑，我们可以组合成更为复杂的约束条件，从而得到更为广泛的适用性。通过使用开源的凸优化算法包，我们可以很方便地解决各种凸优化-圆锥组合问题。