导数的幂定律

幂规则是导数中常用的规则。幂定律从根本上说，升为幂n的变量的导数是升为n-1的变量的n倍。幂规则的数学公式可以写成：

$\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1} \\\qquad\\$

由于微分是在微分函数空间上的线性运算，因此多项式也可以使用此规则进行微分。幂规则是泰勒级数的基础，因为泰勒级数将幂级数与函数的导数相关联。

例子

找出的导数

1. x ¹⁰¹

$\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\\\qquad\\ \implies \dfrac{d}{dx}x^{101}=101x^{100}\\\qquad\\$

2. 15倍⁶

$\dfrac{d}{dx}15x^6=15(6x^{6-1})=90x^5\\\qquad\\$

幂规则(重写表达式)

通过上面的方程式和示例，您现在知道如何区分升为幂n的变量。要注意的一点是n也可以是分数，因此变量可以具有指数，并且这些指数是实数。为了更好地理解，请检查以下示例：

找到的派生

$1.\ \ x^{\dfrac{-3}{4}}\\\qquad\\ \dfrac{d}{dx}x^{\dfrac{-3}{4}}\ =\ \dfrac{-3}{4}x^{\dfrac{-3}{4}-1}\ =\ \dfrac{-3}{4}x^{\dfrac{-3-4}{4}}\ =\ \dfrac{-3}{4}x^{\dfrac{-7}{4}} \\\qquad\\\qquad\\ 2. \ \ \sqrt{x}\\\qquad\\ \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}\ =\ \dfrac{d}{dx}x^{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}x^{\dfrac{1}{2}-1}\ =\ \dfrac{1}{2}x^{\dfrac{-1}{2}}\ =\ \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\\qquad\\\qquad\\ 3. \ \ \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\\\qquad\\ \dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\ =\ \dfrac{d}{dx}x^{\dfrac{-1}{3}}\ =\ \dfrac{-1}{3}x^{\dfrac{-1}{3}-1}\ =\ \dfrac{-1}{3}x^{\dfrac{-1-3}{3}}\ =\ \dfrac{-1}{3}x^{\dfrac{-4}{3}}\ =\dfrac{-1}{3\sqrt[3]{x^{4}}} \\\qquad\\\qquad\\ 4. \ \ \sqrt[5]{x^7}\\\qquad\\ \dfrac{d}{dx}\sqrt[5]{x^7}\ =\ \dfrac{d}{dx}x^{\dfrac{7}{5}}\ =\ \dfrac{7}{5}x^{\dfrac{7-5}{5}}\ =\ \dfrac{7}{5}x^{\dfrac{2}{5}} \\\qquad\\\qquad\\$

证明权力规则

证明：

使用导数的定义，我们可以写

$\dfrac{d}{dx}x^n\ as\ \lim\limits_{x\rarr0}\dfrac{(x+\triangle x)^n-x^n}{\triangle x}\\\qquad\\$

通过使用二项式定理，我们扩展(x +△x) ⁿ 学期

$(x+\triangle x)^n\ term\\\qquad\\ \lim\limits_{x\rarr0}\dfrac{(x+\triangle x)^n-x^n}{\triangle x}\\\qquad\\ =\ \lim\limits_{x\rarr0}\dfrac{(\dbinom{n}{0}x^n+\dbinom{n}{1}x^{n-1}\triangle x+\dbinom{n}{2}x^{n-2}\triangle x^2....+\dbinom{n}{n}\triangle x^n)-x^n}{\triangle x}\\\qquad\\ =\ \lim\limits_{x\rarr0}\dfrac{\dbinom{n}{1}x^{n-1}\triangle x+\dbinom{n}{2}x^{n-2}\triangle x^2....+\dbinom{n}{n}\triangle x^n}{\triangle x}\\\qquad\\ = \ \lim\limits_{x\rarr0}\dbinom{n}{0}x^n+\dbinom{n}{1}x^{n-1}+\dbinom{n}{2}x^{n-2}\triangle x....+\dbinom{n}{n}\triangle x^n-1)-x^n\\\qquad\\ = \ \binom{n}{1}x^{n-1}\ =\ nx^{n-1} \\\qquad\\$

仅保留了第一项，因为它不包含△x项，因此，

$\dfrac{d}{dx}x^n\ =\ nx^{n-1}$