通过数学符号对逻辑的研究称为数学推理。数学逻辑也称为布尔逻辑。换句话说，在数学推理中，我们确定语句的真实值。数学推理有七种类型，即直觉，反事实思维，批判性思维，向后归纳，归纳推理，演绎推理和归纳归纳。在这7种类型中，以下两种是主要类型：
- 归纳推理：在这种类型的推理中，使用某些规则检查语句的有效性，然后将给定的语句概括化。换句话说，归纳推理是非严格推理，其中的陈述被概括化。
- 演绎推理：这是严格的推理，如果进入演绎的假设为真，则假定陈述为真。在数学中，演绎推理比归纳推理更重要。
数学逻辑中的陈述
句子是对的陈述，如果它是正确的，不正确的或对或错的，则决不能两者兼有，因为不能同时将对或错的陈述视为陈述，并且如果句子既不是对也不是虚假，那么它也是不能被视为陈述。陈述是推理的基本单位。例如，我们有以下三个语句：
句子1：共和国日是1月26日
句子2：蚂蚁的重量大于大象的重量。
因此，通过阅读这些陈述，我们立即得出结论：句子1是正确的，句子2是错误的。因此，这些句子被接受为陈述，因为它们是对还是错，它们都不是模棱两可的。在数学推理中，存在两种主要的陈述类型：
- 简单语句：简单语句是那些其真值不显式依赖于另一条语句的语句。它们是直接的，不包含任何修饰符。
例子：
‘364 is an even number’
- 复合语句：当两个或两个以上的简单语句使用单词“和”，“或”，“如果……则”和“如果且仅当”组合在一起时，结果语句称为复合语句。 “和”，“或”，“如果……那么”和“如果且仅当”也被称为逻辑连接词。
例子：
‘ I am studying psychology and history’.
逻辑的基本运算：
- 连词：使用’and’创建复合语句时，称为连词。
a ^ b
这里，a和b是两个简单的语句。
- 析取：当使用“或”创建复合语句时，称为析取。
a v b
这里，a和b是两个简单的语句。
- 条件语句：当通过连接创建一个语句时，使用’if …. then’的两个简单语句称为条件语句。
a → b
这里，a和b是两个简单的语句。
- 双条件语句：当通过连接创建一个语句时，使用’if and only if’的两个简单语句称为双条件语句。
a ↔ b
这里，a和b是两个简单的语句。
- 否定：当使用“否”之类的词创建语句时，“否”称为否定。
~a
例子：
Are the following sentences statements? answer in true or false
(i) ”7 + 5 = 19”
This statement will be considered false because the addition is not correct
(ii) “today’s weather is very nice”
This statement is neither true nor false because if the weather seems nice to one person it does not mean that every person will share the same opinion.
(iii)” 2 + 5 – 3 + 2 = 6 ”
This statement will be considered true because the equation is correct.
(iv) harsh is very nice
False, because this is an opinion of a person and opinions can vary.
(v) 7 + 5 = 21
False, this will compute to 12 but the answer is given 21 so the answer is false.
声明值：
声明if是正确还是不正确，或者是true还是false。语句的正确或错误状态称为真值。如果该语句为假，则将其确定为“ F”；如果该语句为真，则将其确定为“ T”。
例子：
(i) ‘364 is an even number’ is T because this statement is true.
(ii) ’71is divisible by 2′ is F because this statement is false.
真相表：
众所周知，一条语句可以是对，也可以是假，这些值称为真值。因此，真值表是针对组件语句的真值的所有可能组合的结果语句的真值的汇总。在n个语句的情况下，语句表中有2 n种不同的真值可能排列。在真值表中，当每个条件的复合语句为true时，则称为重言式；当每个条件的复合语句为false时，则称为谬误。
例子：
The truth table for one statement ‘p’ will be written as:
| p |
| T |
| F |
The truth table of two statements ‘p’ and ‘q’ will be taken as:
| p | q | p ^ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
旧声明中的新声明
在数学推理中，通过否定旧语句从旧语句创建新语句。
否定声明：
如果“ p”是一条语句，则拒绝该语句称为“否定”。语句的否定是通过在语句前面加上“〜”来表示的，而“ p”的否定是“〜p”。该符号的定义是，如果否定符号，则在语句中插入“ not”一词，或者我们可以说“……是错误的”来开始声明。
例子：
The truth table will be as:
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
复合语句的否定：当使用单词“和”，“或”，“如果……则”和“如果且仅当”将两个或多个简单语句组合在一起时，结果语句称为复合语句。因此，要否定复合语句，我们使用“非”字。例如，要否定“如果P，则为Q”形式的语句，我们应将其替换为“ P而不是Q”。
DeMorgan’s Laws: negating compound statements
∼(p ^ q) ↔ (∼p ∨ ∼q)
∼(p ∨ q) ↔ (∼p ^∼q)
(i)否定合取与析取
∼(p ^ q) ↔ (∼p ∨ ∼q)
∼(p ∨ q) ↔ (∼p ^∼q)
例子：
(i) p ^ q = I will buy snacks and sweets
∼(p ^ q) = I will not buy snacks and sweets
(ii) p v q = I will but headphones or earphones
∼(p v q) = it is not the case that I will be buying headphones or earphones.
(iii) Negate (p ^ q) using truth tables:
| p | q | (p ^ q) | ∼(p ^ q) |
| T | T | T | F |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
(ii)否定有条件陈述
∼(p → q) = (p ∧ ∼q)
例子：
p → q = if it rains today then i will go to school
∼(p → q) – it is not the case that if rains today, then i will go to schools
(iii)否定双条件声明
∼(p ↔ q) ↔ [(p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)]
例子：
问题1：考虑以下陈述，否定以下陈述
P：恶劣的生活在德里
问：苛刻是有钱的
R：严厉是情感上的坚强
解决方案：
∼(Q ↔ (P ^ ∼R)
harsh lives in Delhi and is not emotionally strong if and only if harsh is rich.
问题2。p和q是两个语句，那么(p⇒q)⇔(〜q⇒〜p)将以真值表的形式显示结果。
解决方案：
| p⇒q | ∼p⇒∼q | p⇒q⇔∼q⇒∼p |
| F | T | F |
| T | F | F |
| T | F | F |
| F | T | F |
Therefore, it is a fallacy.