先决条件 – 随机变量，条件概率
给定 n 个互斥事件 A1, A2, …Ak 使得它们的概率和是统一的并且它们的并集是事件空间 E，那么 Ai ∩ Aj= NULL，对于所有 i 不等于 j，并且
A1 U A2 U ... U Ak = E 那么总概率定理或总概率定律是：
其中 B 是一个任意事件，P(B/Ai) 是假设 A 已经发生的 B 的条件概率。
证明 –
设 A1, A2, …, Ak 是形成样本空间分区的不相交事件，并假设 P(Ai) > 0，对于 i = 1, 2, 3….k, 。
使得：
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)然后，对于任何事件 B，我们有，
B = B ∩ E
B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK) 因为交集和联合是分布式的。所以，
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK) 因为所有这些分区都是不相交的。所以，我们有，
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK) 即，不相交事件并集的概率加法定理。
使用条件概率
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)或者根据乘法规则，
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A) 如果 P(B|A) = P(B)，这里的事件 A 和 B 被称为独立事件，其中 P(A) 不等于零(0)，
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 其中 P(B|A) 是条件概率，它给出了当事件 A 已经发生时事件 B 发生的概率。因此，
P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k应用上面的这个规则，我们得到，
这就是全概率定律。
全概率定律也称为全概率定理或替代定律。
注意 –当您不知道某个事件的概率，但您知道它在几个不相交的场景下的发生以及每个场景的概率时，将使用总概率定律。
应用 –用于评估贝叶斯定理中的分母。
示例 –我们从一副洗好的纸牌中抽出两张替换的纸牌。求第二张牌成为国王的概率。
解释——让，
A – 代表获得第一张牌为王的事件。
B——代表第一张牌不是王的事件。
E——代表第二张牌是王的事件。
那么第二张牌是不是王的概率就可以用全概率定律表示为：
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) 在哪里，
P(E) 是第二张牌是国王的概率，
P(A) 是第一张牌是国王的概率，
P(E|A) 是在第一张牌是国王的情况下第二张牌是国王的概率，
P(B) 是第一张牌不是国王的概率，
P(E|B) 是第二张牌是国王但抽到的第一张牌不是国王的概率。
根据问题：
P(A) = 4 / 52
P(E|A) = 4 / 52
P(B) = 48 / 52
P(E|B) = 4 / 52 所以，
P(E)
= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)
=(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52)
= 0.0769230