📜  数学 |全概率定律

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:56:54             🧑  作者: Mango

先决条件 – 随机变量,条件概率
给定 n 个互斥事件 A1, A2, …Ak 使得它们的概率和是统一的并且它们的并集是事件空间 E,那么 Ai ∩ Aj= NULL,对于所有 i 不等于 j,并且

A1 U A2 U ... U Ak = E 

那么总概率定理或总概率定律是:

其中 B 是一个任意事件,P(B/Ai) 是假设 A 已经发生的 B 的条件概率。

证明 –
设 A1, A2, …, Ak 是形成样本空间分区的不相交事件,并假设 P(Ai) > 0,对于 i = 1, 2, 3….k, 。
使得:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)

然后,对于任何事件 B,我们有,

B = B ∩ E
B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK) 

因为交集和联合是分布式的。所以,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK) 

因为所有这些分区都是不相交的。所以,我们有,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK) 

即,不相交事件并集的概率加法定理。

使用条件概率

P(B / A) =  P(B ∩ A) / P(A)

或者根据乘法规则,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A) 

如果 P(B|A) = P(B),这里的事件 A 和 B 被称为独立事件,其中 P(A) 不等于零(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 

其中 P(B|A) 是条件概率,它给出了当事件 A 已经发生时事件 B 发生的概率。因此,

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k

应用上面的这个规则,我们得到,

这就是全概率定律

全概率定律也称为全概率定理或替代定律。

注意 –当您不知道某个事件的概率,但您知道它在几个不相交的场景下的发生以及每个场景的概率时,将使用总概率定律。

应用 –用于评估贝叶斯定理中的分母。

示例 –我们从一副洗好的纸牌中抽出两张替换的纸牌。求第二张牌成为国王的概率。

解释——让,
A – 代表获得第一张牌为王的事件。
B——代表第一张牌不是王的事件。
E——代表第二张牌是王的事件。

那么第二张牌是不是王的概率就可以用全概率定律表示为:

P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) 

在哪里,
P(E) 是第二张牌是国王的概率,
P(A) 是第一张牌是国王的概率,
P(E|A) 是在第一张牌是国王的情况下第二张牌是国王的概率,
P(B) 是第一张牌不是国王的概率,
P(E|B) 是第二张牌是国王但抽到的第一张牌不是国王的概率。

根据问题:

P(A) = 4 / 52
P(E|A) = 4 / 52
P(B) = 48 / 52
P(E|B) =  4 / 52 

所以,

P(E)
= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)
=(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4  / 52)
= 0.0769230