矩阵的数学运算| 12年级数学

矩阵是数字，符号或表达式的矩形排列，以行和列组织。矩阵可以具有’m’行数和’n’列数，因此称为m×n矩阵。

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}_{3\times 3}$

矩阵写在方括号内，其中水平线称为行，例如在上述矩阵中-a ₁₁ ，a ₁₂ ，a ₁₃ 。

垂直线称为列，例如– a ₁₁ ，a ₂₁ ，a ₃₁ 。矩阵大小由行数和列数决定。

矩阵相等

如果满足以下三个条件，则称两个矩阵“ A”和“ B”相等。

• 如果矩阵“ A”和矩阵“ B”中的行数相同。
• 如果矩阵“ A”和矩阵“ B”中的列数相同。
• 矩阵“ A”和矩阵“ B”中的相应元素在同一位置。

$A= \begin{bmatrix} 2 & 9 & 3\\ 4 & 8 & 5\\ 1 & 5 & 7 \end{bmatrix}, B= \begin{bmatrix} 2 & 9 & 3\\ 4 & 8 & 5\\ 1 & 5 & 7 \end{bmatrix}$

在这里，矩阵“ A”和“ B”相等，因为它们满足以上所有三个条件。

问题：如果以下矩阵相等，请找到’x’和’y’的值?

$A = \begin{bmatrix} x+5 & 3\\ 7& 8 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 6 & 3\\ y-2 & 8 \end{bmatrix}$

解决方案：

On equating the corresponding elements we can the value of ‘x’ and ‘y’

• x + 5 = 6
  x = 6 – 5
  x = 1
• 7 = y – 2
  7 + 2 = y
  y = 9

矩阵加法

在矩阵中，矩阵的相加是通过将相应元素相加而将两个矩阵相加的功能。
两个矩阵相加的条件是：
这两个矩阵应具有相同的顺序或大小，即行数必须等于列数。

例子：

$A = \begin{bmatrix} 2 & 9\\ 5 & 6 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 2 & 3 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 8\\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}$

• 这里可以添加矩阵“ A”和“ B”，因为它们都是2×2阶，

$A+B = \begin{bmatrix} 2+1 & 9+7\\ 5+2 & 6+3 \end{bmatrix}$
$A+B = \begin{bmatrix} 3 & 16\\ 7 & 9 \end{bmatrix}$

• 不能再添加“ A” +“ C”，因为它们的顺序不同，矩阵“ A”的顺序为2×2，矩阵“ C”的顺序为2×3。

矩阵相减

在矩阵中，矩阵的减法是两个矩阵相减的功能，即将相应的元素相减。
两个矩阵相减的条件是：
这两个矩阵应具有相同的顺序或大小，即行数必须等于列数。

例子：

$A = \begin{bmatrix} 9 & 3\\ 6 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 &2\\ 8 & 7 \end{bmatrix}$

在这里，矩阵“ A”和“ B”的阶数为2×2，
减去对应的元素

$A-B =\begin{bmatrix} 9-5 & 3-2\\ 6-8 & 1-7 \end{bmatrix}$
$A-B =\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -2 & -6\end{bmatrix}$

标量乘以矩阵

在标量乘法中，矩阵的每个元素都乘以标量。在这里，我们将标量指的是实数。

标量乘以矩阵的性质

尺寸属性

如果我们将矩阵与标量相乘，则矩阵的尺寸不变，它的大小与以下示例中说明的相同，

$2A = \begin{bmatrix} 7 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix}_{2\times2} = \begin{bmatrix} 2\times7 & 2\times5\\ 2\times3 & 2\times6 \end{bmatrix}_{2\times2} = \begin{bmatrix} 14 & 10\\ 6 & 12 \end{bmatrix}_{2\times2}$

在上面的示例中，当我们将尺寸为2×2的矩阵乘以标量2时，所得矩阵也为尺寸为2×2的矩阵。

交换性质

更改要相乘的矩阵的顺序不会更改结果。在将矩阵与标量相乘时，乘数中各因子的排列顺序不会对结果产生任何影响。
例如：假设“ a”为标量，“ A”为矩阵
通过此属性，我们了解到

aA = Aa

例子：

$3.A = 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\times4 & 3\times5\\ 3\times2 & 3\times1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 15\\ 6 & 3 \end{bmatrix}$
$A.3 = \begin{bmatrix} 4 & 5\\ 2 & 1 \end{bmatrix}3 = \begin{bmatrix} 4\times3 & 5\times3\\ 2\times3 & 1\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 15\\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

3.A = A.3

关联财产

矩阵相乘是将一个矩阵与两个标量相乘的关联，标量和矩阵相乘的顺序不会改变。假设“ a”和“ b”为标量，“ X”为矩阵，

(aX).b = a。(Xb)

例如：a = 2，b = 7，并且X是任何2×2矩阵

$(a.X).b= (2.\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}).7 = \begin{bmatrix} 2\times1 & 2\times 4\\ 2\times 3 & 2\times 5 \end{bmatrix}.7 = \begin{bmatrix} 2 & 8\\ 6 & 10 \end{bmatrix}.7 = \begin{bmatrix} 2\times7 & 8\times7\\ 6\times 7 & 10\times7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 56\\ 42 & 70 \end{bmatrix}$

$a.(X.b)= 2.()\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}.7) = 2.\begin{bmatrix} 1\times7 & 4\times 7\\ 3\times 7 & 5\times 7 \end{bmatrix} = 2.\begin{bmatrix} 7 & 28\\ 21 & 35 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times7 & 2\times28\\ 2\times 21 & 2\times35 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 56\\ 42 & 70 \end{bmatrix}$

(aX).b = a。(Xb)

分配财产

矩阵的分布特性表明，当标量与矩阵“ A”和“ B”相乘并包含相乘时，还会应用其他算术运算，例如加法或减法。我们使用分布特性来阐明其中标量矩阵乘法中的因素之一是加法或减法的问题。

示例1：假设“ a”为标量，“ A”和“ B”为矩阵。
(A + B)= aA + aB

$a.(A+B) =2.(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}) = 2.\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12\\ 14 & 16 \end{bmatrix}$
$a.A+ a.B =(2.\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix}) + (2.\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 8 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 8\\ 6 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12\\ 14 & 16 \end{bmatrix}$

(A + B)= aA + aB

示例2：如果乘法运算之一是标量的加法，则分配属性由下式给出：
假设“ a”和“ b”为标量，“ A”为矩阵。
(a + b).A = aA + bA

$(a+b).A = (1+2).\begin{bmatrix} 5 &4 \\ 2 &1 \end{bmatrix} = 3.\begin{bmatrix} 5 & 4\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 &12 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$
$a.A+b.A = 1.\begin{bmatrix} 5 &4 \\ 2 &1 \end{bmatrix} + 2.\begin{bmatrix} 5 &4 \\ 2 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4\\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 & 8\\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 &12 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$