基本运算求矩阵的逆矩阵12年级数学

高斯消除法也称为行归约法，它是一种用于求解线性方程组的算法。通常将其理解为对相应系数矩阵执行的一系列操作。该算法用于查找：

• 矩阵的等级。
• 矩阵的行列式。
• 矩阵的逆。

我们可以在矩阵上执行的修改操作为：

• 交换/交换两行。
• 用正整数乘或除一行。
• 将一行的倍数相加或相减。

现在，使用这些操作，我们可以修改矩阵并找到其逆矩阵。涉及的步骤是：

• 步骤1：创建nx n的单位矩阵。
• 步骤2：在原始矩阵(A)上执行行或列操作，使其等效于单位矩阵。
• 步骤3：也对单位矩阵执行类似的操作。

现在，经过所有运算后，所得的恒等矩阵为逆矩阵。

例子

Note: 

Here, R1: Row 1, R2: Row 2, R3: Row 3

示例1：通过基本运算找到以下矩阵的逆矩阵?

$A =\begin{bmatrix}2&0&3\\-1&3&-4\\-3&1&-4\end{bmatrix}$

解决方案：

让我们在原始矩阵(A)上执行行或列操作，使其等效于单位矩阵。

步骤1：互换 R2和R3行(使A [2] [2] = 1)

$\begin{bmatrix}2&0&3\\-3&1&-4\\-1&3&-4\end{bmatrix}$

步骤2： R1 = R1 + R3(使A [1] [1] = 1)

$\begin{bmatrix}1&3&-1\\-3&1&-4\\-1&3&-4\end{bmatrix}$

步骤3： R2 = R2 – 3R3(使A [2] [1] = 0)

$\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&-8&8\\-1&3&-4\end{bmatrix}$

步骤4： R3 = R3 + R1(使A [3] [1] = 0)

$\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&-8&8\\0&6&-5\end{bmatrix}$

步骤5： R2 = R2 / -8(使A [2] [2] = 1)

$\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&-1\\0&6&-5\end{bmatrix}$

步骤6： R1 = R1 – R2(使A [1] [3] = 0)

$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&-1\\0&6&-5\end{bmatrix}$

步骤7： R3 – 6R2(使A [3] [2] = 0)

$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}$

步骤8： R2 = R2 + R3(使A [2] [3] = 0)

$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

步骤9： R1 = R1 – 2R2(使A [1] [2] = 0)

$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

现在，对单位矩阵执行与上述相同的操作。在单位矩阵上进行上述每个类似操作后的结果，我们得到：

$Identity \ matrix(I) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤1：互换 R2和R3行

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

步骤2： R1 = R1 + R3

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

步骤3： R2 = R2 – 3R3

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

步骤4： R3 = R3 + R1

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

步骤5： R2 = R2 / -8

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 3/8 & -1/8\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

步骤6： R1 = R1 – R2

$\begin{bmatrix} 1 & 5/8 & 1/8\\ 0 & 3/8 & -1/8\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

步骤7： R3 – 6R2

$\begin{bmatrix} 1 & 5/8 & 1/8\\ 0 & 3/8 & -1/8\\ 1 & -1/4 & 3/4 \end{bmatrix}$

步骤8： R2 = R2 + R3

$\begin{bmatrix} 1 & 5/8 & 1/8\\ 0 & 1/8 & 5/8\\ 1 & -1/4 & 3/4 \end{bmatrix}$

步骤9： R1 = R1 – 2R2

$\begin{bmatrix} -1 & 3/8 & -9/8\\ 1 & 1/8 & 5/8\\ 1 & -1/4 & 3/4 \end{bmatrix}$

因此，矩阵A的逆是：

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 3/8 & -9/8\\ 1 & 1/8 & 5/8\\ 1 & -1/4 & 3/4 \end{bmatrix}$

示例2：通过基本运算找到以下矩阵的逆矩阵?

$A = \begin{bmatrix} 1& 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

解决方案：

步骤1： R1 = R1 + R2

$\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤2： R2 = R2 x -1

$\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

对单位矩阵的类似操作将导致：

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1& 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

示例3：通过基本运算找到以下矩阵的逆矩阵?

$A = \begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

解决方案：

步骤1：交换R2和R3

$\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1& 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤2： R2 = R2 – R3

$\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

对单位矩阵的类似操作将导致：

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$