对数微分

首先取对数然后求微分的方法来求函数的导数的方法称为对数微分。当函数的类型为y = f(x) ^g(x)时，特别使用此方法。在此类y是复合函数的问题中，我们首先需要取一个对数，使函数log(y)= g(x)log(f(x)) 。这造成了指数函数的微分非常困难的情况，但是在对等式两边取对数后，我们可以使用对数性质和链式规则轻松地对其进行微分。此方法也称为复合指数函数微分。这种方法使我们能够以有效的方式计算复指数函数的导数。

对数微分公式

Given, y = f(x)^g(x)

Taking log on both sides:

log(y) = log(f(x)^g(x))

Using log properties:

log(y) = g(x)⋅ log(f(x))

Differentiating both sides:

$\frac{d}{d x} \log (y)=\frac{d}{d x}(g(x) \cdot \log (f(x)))$

Using uv rule:

$\frac{d}{d x} \log (y)=g(x) \cdot \frac{d}{d x} \log (f(x))+\log (f(x)) \cdot \frac{d}{d x} g(x)$

Using Chain rule:

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=g(x) \cdot \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)+\log (f(x)) \cdot g'(x) \\ \frac{d y}{d x}=y ({g(x) \cdot \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)+\log (f(x)) \cdot g'(x))}$

使用对数微分规则的唯一限制是f(x)和u(x)必须为正，因为仅对正值定义了对数函数。

解决对数微分问题的步骤

这些是此处给出的解决对数函数微分的步骤：

1. 双方日志。
2. 使用log属性删除指数。
3. 现在，对方程进行微分。
4. 简化获得的方程式。
5. 替换回y的值。

有时可能会有些混乱，但请保持冷静，并与众不同。以下是对数微分的一些示例。

示例1：找到x ^x的导数?

解决方案：

Let y = x^x

Step 1: Taking log on both sides

log(y) = log(x^x)

Step 2: Use log property to remove exponent

log(y) = x ⋅ log(x)

Step 3: Now differentiate the equation

$\frac{d}{d x} \log (y)=\frac{d}{d x}(x \cdot \log (x)) \\ \frac{d}{d x} \log (y)=x \cdot \frac{d}{d x} \log (x)+\log (x) \cdot \frac{d x}{d x} \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=x \cdot \frac{1}{x}+\log (x)$

Step 4: Simplify the obtained equation

$\frac{d y}{d x}=y(1+\log (x))$

Step 5: Substitute back the value of y

$\frac{d y}{d x}=x^{x}(1+\log (x))$

示例2：找到的导数$x^{\left(x^{x}\right)}$ ?

Given,

       y = $x^{\left(x^{x}\right)}$

Taking log on both sides,

      log(y) = log($x^{\left(x^{x}\right)}$)

      log(y) = x^x⋅ log(x)         {log(a^b) = b⋅ log(a)}

Differentiating both sides,

$\frac{d}{d x} \log (y)=\frac{d}{d x}\left(x^{x} \cdot \log (x)\right) \\ \qquad \frac{d}{d x} \log (y)=x^{x} \cdot \frac{d}{d x} \log (x)+\log (x) \cdot \frac{d}{d x} x^{x}\qquad \quad\left\{f^{\prime}(u . v)=u . f^{\prime}(v)+v \cdot f^{\prime}(u)\right\} \\ \qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=x^{x} \cdot \frac{1}{x}+\log (x) \frac{d}{d x} x^{x} \qquad \qquad \qquad \quad \quad\left\{f^{\prime}(\log x)=\frac{1}{x}\right\} \\ \qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=x^{x-1}+\log (x) \frac{d}{d x} x^{x}$

Since now we know the derivative of x^x, We will substitute here directly.

$\qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=x^{x-1}+\log x \cdot x^{x}(1+\log x) \\ \qquad \qquad \frac{d y}{d x}=y\left(x^{x-1}+\log x \cdot x^{x}(1+\log x)\right) \\ \qquad \qquad \frac{d y}{d x}=x^{\left(x^{x}\right)}\left(x^{x-1}+\log x \cdot x^{x}(1+\log x)\right)$

示例3：求y =(log x) ^x ?的导数。

Given,

        y = (logx)^x

Taking log on both sides,

       log(y) = log((logx)^x)

       log(y) = x ⋅ log(logx)     {log(a^b) = b⋅ log(a)}

Differentiating both sides,

$\frac{d}{d x} \log (y)=\frac{d}{d x}(x \cdot \log (\log x)) \\ \qquad \frac{d}{d x} \log (\mathrm{y})=x \cdot \frac{d}{d x} \log (\log x)+\log (\log x) \cdot \frac{d x}{d x} \\ \qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}+\log (\log x) \\ \\ \qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\log x}+\log (\log x) \qquad \{ Using Chain Rule \} \\ \qquad \ \ \qquad \frac{d y}{d x}=y \cdot\left(\frac{1}{\log x}+\log (\log x)\right) \\ \qquad \ \ \qquad \frac{d y}{d x}=(\log x)^{x} \cdot\left(\frac{1}{\log x}+\log (\log x)\right)$

示例4：找到y = ^x√x的导数?

Given,

        y = x^√x​

Taking log on both sides,

        log(y) = log(x^√x​​)

        log(y) = √x​⋅ log(x)       {log(a^b) = b⋅ log(a)}

Differentiating both sides,

$\frac{d}{d x} \log (y)=\frac{d}{d x}(\sqrt{x} \cdot \log (x)) \\ \qquad \frac{d}{d x} \log (\mathrm{y})=\sqrt{x} \cdot \frac{d}{d x} \log (\mathrm{x})+\log (x) \cdot \frac{d \sqrt{x}}{d x} \\ \\ \qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}+\log (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \\ \qquad \qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\log (x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \ \ \qquad \qquad \frac{d y}{d x}=y \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\log (\mathrm{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \\ \ \ \qquad \qquad \frac{d y}{d x}=\mathrm{x}^{\sqrt{x}} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\log (\mathrm{x}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$