总微分

函数f在某个点的全导数是函数wrt （相对于）其参数（变量）的点附近的近似值。如果函数。有时，全导数与函数的偏导数或普通导数相同。

对于复合函数：

一般来说，复合函数只不过是两个或多个依赖于任何公共变量 t 的因变量的函数。从两个变量中获得复合函数值。

如果u= f(x,y) ，其中x和y是t 处的因变量，那么我们也可以将u表示为 t 的函数。通过将x, y的值替换为f(x,y) 。因此，我们找到称为u的全导数的普通导数。

现在，要找到$\frac{du}{dt}$没有实际替换 f(x,y) 中的 x 和 y 的值。

  $\frac{du}{dt} =\frac{\partial u }{\partial x}. \frac{\partial x }{\partial t} + \frac{\partial u }{\partial y}. \frac{\partial y }{\partial t}$

同样，如果u = f(x,y,z)其中x, y, z都是变量t的函数，则链式规则为：

  $\frac{du}{dt} =\frac{\partial u }{\partial x}. \frac{\partial x }{\partial t} + \frac{\partial u }{\partial y}. \frac{\partial y }{\partial t} + \frac{\partial u }{\partial z}. \frac{\partial z }{\partial t}$

问题：给定， $u = sin\frac{x}{y} , x = e^{t}, y= t^{2}, find \frac{du}{dt}$作为t的函数。通过直接替换验证您的结果。

解决方案：我们有， $\frac{du}{dt} = \frac{\partial u }{\partial x}. \frac{\partial x }{\partial t} + \frac{\partial u }{\partial y}. \frac{\partial y }{\partial t}$

= $cos\frac{x}{y} . \frac{1}{y} . _e{t} + (cos\frac{x}{y}) (\frac{-x}{_y{2}^{ }}) .2t$

将 x 和 y 的值放入上述等式中

= $cos\frac{_e{t}}{_t{2}} . \frac{_e{t}}{_t{2}} -2cos\frac{_e{t}}{_t{2}} . _e{t}._t{3}$

$\frac{du}{dt} = (t-\frac{2}{_t{3}})._e{t}.cos\frac{_e{t}}{_t{2}}$

问题：给定 f(x,y) =e ^x siny ，x=t ³ +1 和 y=t ⁴ +1。然后 df/dt 在 t = 1。

解：令 f(x,y) =e ^x siny

$\frac{df}{dt} =\frac{\partial u }{\partial x}. \frac{\partial x }{\partial t} + \frac{\partial u }{\partial y}. \frac{\partial y }{\partial t}$

= e ^x siny.(3t ² ) + 舒适 .e ^x .(4t ³ )

我们知道，x= t ³ +1 和 y= t ⁴ +1

在 t =1、x=2 和 y=2 时的 x 和 y 值

$\frac{df}{dt} = (e^{2})(sin2)(12) + (cos2)(e^{2})(32)$

=(2.718) ² (0.0349)(12) +(0.9994)(2.718) ² (32)

= 238.97

对于隐式函数：

隐函数是其变量不是完全自变量的函数。设一个函数f(x,y) ，其中x是自变量，而y是x因变量。

如果f(x, y)= c ( constant )是一个隐式函数，并且x和y 之间的关系存在，它定义为x的可微函数。

这里， f(x,y) =常数

对于隐式函数，让我们考虑， x是自变量， y是x的函数。

f(x,y) = c ……..eq (1)

根据总微分系数的定义。

问题：如果u = xlogxy where x ³ +y ³ +3xy=1 ，求du/dx。

解：我们有 x ³ +y ³ +3xy=1 ……….(1)

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}.\frac{dy}{dx} +\frac{\partial u}{\partial y}.\frac{dy}{dx}$

= $(logxy +1) + \frac{x}{y}.\frac{dy}{dx} ..........(2)$

从 eq………….(1)

$\frac {dy}{dx} = -\frac{\frac{∂f}{∂x}} { \frac{∂f}{∂y}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac {(3x^{2} + 3y)}{(3y^{2} + 3x)}$

$= -\frac{(x^{2} +y)}{(y^{2} +x)}t$

在将值放入 eq (2) 之后

$\frac{du}{dx} = (logxy +1) - (\frac{x}{y})\frac {(x^{2}+y)}{(y^{2}+x)} .$