eˣ和ln(x)的导数证明–高级微分

在本文中，我们将介绍函数ln(x)和e ^x的导数的证明。在继续之前，我们需要修改两件事：

导数的第一原理

通过计算此极限来找到函数的导数称为与第一性原理的区别。第一原理的导数是指使用代数找到曲线斜率的一般表达式。也称为增量法。导数是瞬时变化率的量度，等于

$f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

e就极限而言

被称为欧拉数的数字e是一个数学常数，大约等于2.71828 。常数本身的发现归功于1683年的雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)，他试图找到以下表达式的值(等于e)。

$e=\lim _{n \rightarrow 0}(1+n)^{\frac{1}{n}}$

e ^x的导数证明

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ \qquad =&\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{x}.e^h-e^x}{h} \\ \ \ =&e^x .\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^h-1}{h} \\ Let's \ take,\\ \qquad &e^{h}-1=n \\ we \ get,\\ \qquad &e^{h}=n+1 \\ \qquad &h=\ln (n+1) \\ &As\ \mathrm{h} \rightarrow 0 \Rightarrow n \rightarrow 0 \\ \qquad &=e^{x} \cdot \lim _{n \rightarrow 0} \frac{n}{\ln (n+1)} \\ \qquad &=e^{x} \cdot \lim _{n \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{n} \ln (n+1)} \\ \qquad &=e^{x} \cdot \lim _{n \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (n+1)^{1 / n}} \\ \qquad &=e^{x} \cdot \frac{1}{\ln \lim _{n \rightarrow 0}(n+1)^{1 / n}} \\ \qquad\ &=e^{x} \cdot \frac{1}{\ln \mathrm{e}} \\ \qquad\ &=e^{x} \\ Hence, \\ \boldsymbol{{f}^{\prime}\left(e^{x}\right)=e^{x}} \end{aligned}$

范例1：找出的导数$y = {e^{ - {x^3}}}$ ?

解决方案：

By the chain rule,

${y^\prime = \left( {{e^{ - {x^3}}}} \right)^\prime }={ {e^{ - {x^3}}} \cdot \left( { - {x^3}} \right)^\prime }={ {e^{ - {x^3}}} \cdot \left( { - 3{x^2}} \right) }={ - 3{x^2}{e^{ - {x^3}}}.}$

示例2：找到的导数$y =\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}$ ?

解决方案：

Use here the quotient rule:

${y^\prime = \left( {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}} \right)^\prime }={ \frac{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right) - \left( {{e^x} - 1} \right){e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} }={ \frac{{{\cancel{e^{2x}}} + {e^x} - \cancel{e^{2x}} + {e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} }={ \frac{{2{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.}$

ln(x)的导数证明

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad\ \ \ \{\text { First Principle }\} \\ f^{\prime}(\ln x)=& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (x+h)-\ln (x)}{h} \quad\{f(x+h)=\ln (x+h)\} \\ =& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)}{h} \quad \quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}\right\} \\ =& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h} \\ \text { Let's take, } \\ \qquad \frac{h}{x}=n \\ &A s h \rightarrow 0 \Rightarrow n \rightarrow 0\\ &=\lim _{n \rightarrow 0} \frac{\ln (n+1)}{n x}\\ &=\frac{1}{x} \cdot \lim _{n \rightarrow 0} \frac{\ln (n+1)}{n} \quad\{\text { taking } x \text { common }\}\\ &=\frac{1}{x} \cdot \lim _{n \rightarrow 0} \ln (n+1)^{1 / n} \quad\left\{a \cdot \log x=\log x^{a}\right\}\\ &=\frac{1}{x} \cdot \ln \lim _{n \rightarrow 0}(n+1)^{1 / n}\\ &=\frac{1}{x} \cdot \ln e \quad\{\text {From the defination of } e\}\\ &=\frac{1}{x} &\{\ln e=1\} \\ Hence, \\ f^{\prime}(\ln x)=\frac{1}{x} \end{aligned}$

示例1：找到3ln(x)的导数?

解决方案：

3ln(x)’ = 3(1/x) = 3/x

示例2：找到ln(x)/ 5的导数?

解决方案：

(ln(x)/5)’ = 1/5(ln(x))′ = (1/5) (1/x) = 1/5x