隐式微分 - 高级示例

在上一篇文章中，我们已经讨论了隐式微分的介绍部分和一些基本示例。因此，在本文中，我们将讨论一些隐式微分的高级示例。

隐分化

隐式微分是一种利用链式法则来区分隐式定义函数的方法。明确地找到函数然后进行微分一般不容易。相反，我们可以完全微分 f(x, y)，然后求解方程的其余部分以找到$\frac{dy}{dx}$ .即使可以显式求解原始方程，由全微分得出的公式通常也更简单且更易于使用。

解决方法

• 对等式两边对 x 求微分。
• 遵循差异化规则。
• 使用链式法则来区分涉及 y 的表达式。
• 求解方程$\frac{dy}{dx}$

高级示例

示例 1：求 y = cos(5x – 3y) 的导数？

解决方案：

Given equation:

                      y = cos(5x – 3y)

Step 1: Differentiating both sides wrt x,

                     $\frac{d}{dx}y = \frac{d}{dx}(cos(5x - 3y))$

Step 2: Using Chain Rule

                    $\frac{dy}{dx} = -sin(5x-3y)\frac{d}{dx}(5x - 3y) \\ \\ \qquad \qquad \ \ \frac{dy}{dx} = -sin(5x-3y)(5 - 3\frac{dy}{dx})$

Step 3: Expanding the above equation

                    $\frac{dy}{dx} = -5sin(5x-3y)+ 3sin(5x-3y)\frac{dy}{dx}$

Step 4: Taking all terms with dy/dx on LHS

                    $\frac{dy}{dx} - 3sin(5x-3y)\frac{dy}{dx}= -5sin(5x-3y)$

Step 5: Taking dy/dx common from the LHS of equation

                    $\frac{dy}{dx}(1 - 3sin(5x-3y))= -5sin(5x-3y)$

Step 6: Isolate dy/dx

                    $\frac{dy}{dx}= \frac{-5sin(5x-3y)}{1 - 3sin(5x-3y)}$

示例 2：求 (x² + y²)³ = 5x²y² 的导数？

解决方案：

Given equation:

(x² + y²)³ = 5x²y²

Differentiating both sides:

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)^3 &=\frac{d}{dx}5x^2y^2 \\ 3(x^2+y^2)^2\frac{d}{dx}(x^2+y^2) &=5\frac{d}{dx}x^2y^2 \\ 3(x^2+y^2)^2(2x+2y\frac{dy}{dx}) &=5(2xy^2+2y\frac{dy}{dx}x^2) \\ 6x(x^2+y^2)^2+6y(x^2+y^2)^2\frac{dy}{dx} &=10xy^2+10x^2y\frac{dy}{dx} \\ 6y(x^2+y^2)^2\frac{dy}{dx}-10x^2y\frac{dy}{dx} &=10xy^2-6x(x^2+y^2)^2 \\ (6y(x^2+y^2)^2-10x^2y)\frac{dy}{dx} &=10xy^2-6x(x^2+y^2)^2 \\ \frac{dy}{dx} &=\frac{10xy^2-6x(x^2+y^2)^2}{6y(x^2+y^2)^2-10x^2y} \\ \end{aligned}$

例 3：求导数$e^{xy²} = x-y$ ?

解决方案：

Given equation:

$e^{xy²} = x-y$

Differentiating both sides:

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}e^{xy²}&=\frac{d}{dx}(x-y) \\ e^{xy²}\frac{d}{dx}(xy²)&=1-\frac{dy}{dx} \\ e^{xy²}(y^2+x.2y\frac{dy}{dx})&=1-\frac{dy}{dx} \\ y^2e^{xy²}+2xye^{xy²}\frac{dy}{dx}&=1-\frac{dy}{dx} \\ e^{xy²}2xy\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}&=1-y^2e^{xy²} \\ (2xye^{xy²}+1)\frac{dy}{dx}&=1-y^2e^{xy²} \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1-y^2e^{xy²}}{2xye^{xy²}+1} \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1-y^2(x-y)}{2xy(x-y)+1} \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1-xy^2+y^3}{2x^2y-2xy^2+1} \\ \end{aligned}$

示例 4：求 y = ln(x) 的导数？

解决方案：

Given equation:

y = ln(x)

=> e^y = x

Differentiating both sides:

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}e^{y}&=\frac{d}{dx}(x) \\ e^{y}\frac{dy}{dx}&=1 \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{e^y} \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x} \\ \end{aligned}$