以下哪个一阶公式在逻辑上有效?此处，α(x)是以x为自由变量的一阶公式，而β是没有自由变量的一阶公式。
(A) [β→(∃x，α(x))]→[∀x，β→α(x)]
(B) [∃x，β→α(x)]→[β→(∀x，α(x))]
(C) [(∃x，α(x))→β]→[∀x，α(x)→β]
(D) [(∀x，α(x))→β]→[∀x，α(x)→β]答案： (C)
解释：
如果公式在每种解释中都为真，则该公式在逻辑上有效(或简单有效)。这些公式在命题逻辑中起着与重言式相似的作用。如果公式的任何实例都不为假，则该公式为VALID。因此，只要给出任何给出false的实例并证明我们的公式无效就足够了
选择此问题：
选项(a)
[β→(∃x，α(x))]→[∀x，β→α(x)]
LHS：如果β为true，则存在一个x，其α(x)为true。
RHS：对于所有x，如果β为true，则α(x)为true。这与说β是否为真，那么对于所有x，α(x)都是真。 (β⟹∀x，α(x))
所以，
RHS⟹LHS和LHS⟹̸RHS。
选项(b)
[∃x，β→α(x)]→[β→(∀x，α(x))]
LHS：存在一个x，使得如果β为真，则α(x)为真。
RHS：如果β为true，则对于所有x，α(x)为true。
因此，RHS⟹LHS和LHS⟹̸RHS。
选项(c)
[(∃x，α(x))→β]→[∀x，α(x)→β]
LHS：如果存在一个x，使得α(x)为真，则β为真。
RHS：对于所有x，如果α(x)为true，则β为true。
在这里，LHS和RHS都是相同的，因为β是一个没有自由变量且独立于x的公式。 (如果β对于一个x是正确的，那么对于每个x都是正确的，反之亦然)。
因此，RHS⟹LHS和LHS⟹RHS。
选项(d)
[(∀x，α(x))→β]→[∀x，α(x)→β]
RHS：对于每个x，如果α(x)为true，则β为true。
因此，RHS⟹LHS和LHS⟹̸RHS
因此，选项c是正确的。因为对于选项c来说，LHS和RHS是等效的，即使暗示被颠倒了，它仍然有效。
此解决方案由Nitika Bansal提供。
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