以下哪个一阶公式在逻辑上是有效的?这里α(x)是一个以x为自由变量的一阶公式，β是一个没有自由变量的一阶公式。
(A) [β→(∃x,α(x))]→[∀x,β→α(x)]
(B) [∃x,β→α(x)]→[β→(∀x,α(x))]
(C) [(∃x,α(x))→β]→[∀x,α(x)→β]
(D) [(∀x,α(x))→β]→[∀x,α(x)→β]答案： (C)
解释：
如果一个公式在每个解释中都是正确的，那么它在逻辑上是有效的(或简单地有效)。这些公式的作用类似于命题逻辑中的重言式。如果公式的任何实例都不为假，则该公式为 VALID。因此，给出任何给出错误的实例并证明我们的公式无效就足够了
本题选择：
选项(a)
[β→(∃x,α(x))] → [∀x,β→α(x)]
LHS：如果 β 为真，则存在一个 x 使得 α(x) 为真。
RHS：对于所有 x，如果 β 为真，则 α(x) 为真。这与说如果 β 为真，则对于所有 x，α(x) 为真。 (β⟹∀x,α(x))
所以，
RHS⟹LHS 和 LHS⟹̸ RHS。
选项(b)
[∃x,β→α(x)] → [β→(∀x,α(x))]
LHS：存在一个 x 使得如果 β 为真，则 α(x) 为真。
RHS：如果 β 为真，则对于所有 x，α(x) 为真。
所以，RHS⟹LHS和LHS⟹̸RHS。
选项(c)
[(∃x,α(x))→β] → [∀x,α(x)→β]
LHS：如果有一个 x 使得 α(x) 为真，则 β 为真。
RHS：对于所有 x，如果 α(x) 为真，则 β 为真。
这里，LHS 和 RHS 是相同的，因为 β 是一个没有独立于 x 的自由变量的公式。 (如果 β 对一个 x 为真，则对每个 x 都为真，反之亦然)。
所以，RHS⟹LHS和LHS⟹RHS。
选项(d)
[(∀x,α(x))→β]→[∀x,α(x)→β]
RHS：对于每个 x，如果 α(x) 为真，则 β 为真。
所以，RHS⟹LHS 和 LHS⟹̸ RHS
所以，选项c是正确的。因为对于选项 c，LHS 和 RHS 是等价的，即使含义颠倒，它仍然有效。
该解决方案由Nitika Bansal 提供。
这个问题的测验