门 | Gate IT 2008 | 问题9

在这道题目中，我们需要实现一个比较函数，来判断一个输入的字符串数组中是否存在按照字典序从小到大排列的子序列。比如输入{ "a", "ba", "bca", "bda", "bdca"}，其中"abc"是一个按照字典序排列的子序列。

解题思路

我们可以使用动态规划的思想来解决这个问题。首先建立一个数组$f[x][y]$，其中$f[x][y]$代表以字符串数组中第$x$个元素结尾的长度为$y$的子序列是否按照字典序排列。显然，$f[1][1]$为真，因为任意单一元素都可以视为一个长度为一的按照字典序排列的子序列。然后我们对于对于第$x$个元素，枚举前面所有的元素$j$，如果$f[j][y-1]$恒为真，则有$f[x][y] = true$。

在最后，我们在$f[x][y]$中枚举整个数组，如果能够找到长度为$k$的子序列，则说明数组中存在按照字典序排列的子序列，否则不存在。

代码实现

bool compare(vector<string>& arr)
{
    int len = arr.size();
    vector<vector<bool>> f(len, vector<bool>(max_len, false));

    for(int i=0; i<len; i++)
        f[i][1] = true;

    for(int i=0; i<len; i++)
        for(int j=0; j<i; j++)
            for(int k=2; k<=max_len; k++)
                if(f[j][k-1] && check(arr[j], arr[i], k-1))
                    f[i][k] = true;

    for(int i=0; i<len; i++)
        for(int j=2; j<=max_len; j++)
            if(f[i][j])
                for(int k=i+1; k<len; k++)
                    if(f[k][j-1] && check(arr[i], arr[k], j-1))
                        return true;

    return false;
}

其中，$check(str1, str2, n)$表示检查$str2$是否是$str1$的长度为$n$的子序列。它的实现可以详见代码部分。

测试样例

vector<string> test1 = {"a", "ba", "bca", "bda", "bdca"};
assert(compare(test1) == true);

vector<string> test2 = {"a", "bc", "de"};
assert(compare(test2) == false);

vector<string> test3 = {"a", "b", "c", "d", "e"};
assert(compare(test3) == true);

vector<string> test4 = {"bee", "are", "bee", "thee"};
assert(compare(test4) == true);

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^3\max_len)$。

空间复杂度：$O(n\max_len)$。