数值分析的割线法

割线法也是一种通过逐次逼近为多项式求根的递归方法。它类似于Regular-falsi方法，但是在这里我们不需要在每次逼近后都一次又一次地检查f(x ₁ )f(x ₂ )<0 。在这种方法中，邻域的根由割线或和弦近似为函数f(x) 。这种方法的另一个优势是，我们不需要像牛顿-拉普森方法那样对给定的函数f(x)进行微分。

图–割线法

现在，我们将得出割线方法的公式。正割线通过两点的方程为：
$Y - Y_{1} = m(X - X_{1})$
在这里，m =斜率

因此，申请(x ₁ ，f(x ₁ ))和(x ₀ ，f(x ₀ ))

Y - f(x1) = [f(x0)-f(x1)/(x0-x1)] (x-x1)   Equation (1)

当我们找到函数f(x)的根时，等式(1)中的Y = f(x)= 0，并且割线切到x轴的点是，

x= x1 - [(x0 - x1)/ (f(x0) - f(x1)]f(x1) .

我们将以上结果用于函数f(x)的根的逐次逼近。假设第一近似为x = x ₂ ：

x2= x1 - [(x0 - x1)/ (f(x0)-f(x1))]f(x1)

类似地，第二个近似将是x = x ₃ ：

x3= x2 - [(x1-x2)/ (f(x1)-f(x2))]f(x2)

依此类推，直到^第k^次迭代，

xk+1= xk - [(xk-1 - xk) / (f(xk-1) - f(xk))]f(xk)

注意：要开始函数f(x)的求解，需要进行两个初始猜测，以使f(x ₀ )<0和f(x ₁ )> 0。通常不要求查找f(x)= 0的多项式f(x)的根。通常，您只会被问题问到找到f(x)的根，直到小数点后两位或小数点后三位或四等。

示例1：
使用割线方法计算区间[0，2]中方程x ² e ^{–x / 2} = 1的根。根数应正确到小数点后三位。

解决方案 –
x ₀ = 1.42，x ₁ = 1.43，f(x ₀ )= – 0.0086，f(x ₁ )= 0.00034。

应用割线法，第一个近似值是，
x ₂ = x ₁ – [(x ₀ – x ₁ )/(f(x ₀ )– f(x ₁ )] f(x ₁ )
= 1.43 – [(1.42 – 1.43)/(0.00034 –(– 0.0086))](0.00034)
= 1.4296
f(x ₂ )= – 0.000011(–ve)

第二种近似是
x ₃ = x ₂ – [(x ₁ – x ₂ )/(f(x ₁ )– f(x ₂ ))] f(x ₂ )
= 1.4296 – [(1.42 – 1.4296)/(0.00034 –(– 0.000011](– 0.000011)
= 1.4292
由于x ₂和x ₃匹配至小数点后三位，因此所需的根为1.429 。

示例2：
方程f(x)= x ³ – 5x + 1 = 0的实根在区间(0，1)中。执行割线方法的四个迭代。

解决方案 –
我们有x ₀ = 0，x ₁ = 1，f(x ₀ )= 1，f(x ₁ )= – 3
x ₂ = x ₁ – [(x ₀ – x ₁ )/(f(x ₀ )– f(x ₁ ))] f(x ₁ )
= 1 – [(0-1)/((1-(-3))](-3)
= 0.25。

f(x ₂ )= – 0.234375

第二种近似是
x ₃ = x ₂ – [(x ₁ – x ₂ )/(f(x ₁ )– f(x ₂ ))] f(x ₂ )
=(– 0.234375)– [(1 – 0.25)/(– 3 –(– 0.234375))](– 0.234375)
= 0.186441
f(x ₃ 4 = x ₃ – [(x ₂ – x ₃ )/(f(x ₂ )– f(x ₃ ))] f(x ₃ )
= 0.186441 – [(0.25 – 0.186441)/(– 0.234375) –(0.074276)](– 0.234375)
= 0.201736。

f(x ₄ )= – 0.000470
第四种近似是
x ₅ = x ₄ – [(x ₃ – x ₄ )/(f(x ₃ )– f(x ₄ ))] f(x ₄ )
= 0.201736 – [(0.186441 – 0.201736)/(0.074276 –(– 0.000470)](– 0.000470)
= 0.201640