Beta函数

Beta函数是唯一的函数，也称为第一类Euler积分。 beta函数在实数域中定义。表示它的符号是“β”。 beta函数用β(p，q)表示，其中参数p和q应该是实数。

它解释了输入集和输出集之间的关联。 Beta函数的每个输入值都与一个输出值紧密相关。 Beta函数在许多数学运算中起着重要作用。

Beta函数由-
$\beta(p, q) = \int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$其中p> 0和q> 0

一些标准结果：

1. 对称性：
   $\beta(p, q) = \beta(q, p)$
   $\beta(p, q) = \int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$
   放x = 1-y
   $=\int_{1}^{0}(1-y)^{p-1}.y^{q-1}(-dy)$
   $=\int_{0}^{1}y^{q-1}(1-y)^{p-1}dy = \beta(q, p)$
2. Beta函数在三角函数方面：
   $\beta(p, q) = 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2p-1}x.\cos^{2q-1}xdx$
3. Beta函数表示为不正确的积分：
   $\beta(p, q) = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{p-1}}{(1+y)^{p+q}}dy$
   $= \int_{0}^{\infty} \frac{y^{q-1}}{(1+y)^{p+q}}dy$
4. beta和gamma函数之间的关系：
   $\beta(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
5. $\Gamma(p)\Gamma(1-p) = \frac{\pi}{\sin p\pi}$其中0

6. $\int_{0}^{\pi/2}\cos^n x dx = ½ \beta(\frac{1}{2}, \frac{n+1}{2})$
7. $\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x dx = ½ \beta(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2})$
8. $I=\int_{0}^{\pi/2}\sin^p \theta d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\cos^p \theta d\theta=$
   • $\frac{1.3.5….(p-1)}{2.4.6…p}.\frac{\pi}{2}$如果p是一个偶数正整数
   • $\frac{2.4.6…(p-1)}{1.3.5….p}$如果p是一个奇数正整数
9. $\beta(m, n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$对于m，n个正整数

示例1：
评估$\beta(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}).$

解释 ：
使用结果(4)，我们得到，
$\beta(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})=\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(5/2+3/2)}$
我们知道$\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$
这样我们得到$\frac{3/2 \Gamma(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{3!}$
$=\frac{1}{4}(\frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}))^2=\frac{1}{4}\frac{1}{4}\pi$
= 0.1964

示例2：
评估$\int_{0}^{\pi/2}\sin^{10} \theta d\theta.$

解释 ：
由于p = 10是一个正整数，使用结果(8(i))我们得到，
$\int_{0}{\pi/2}\sin^{10} \theta d\theta = \frac{1.3.5.7.9}{2.4.6.8.10}.\frac{\pi}{2}$
$=\frac{63\pi}{256}$

示例3：
评估$\int_{0}^{\pi/2}\cos^9 \theta d\theta.$

解释 ：
由于p = 9是一个奇数正整数，使用结果8(ii)我们得到，
$\int_{0}^{\pi/2}\cos^9 \theta d\theta = \frac{2.4.6.8}{1.3.5.7.9}$
$=\frac{384}{945}$