R 中的 Beta 分布

统计中的分布是一个函数，它显示变量的可能值以及它们在特定实验或数据集中出现的频率。 Beta 分布是一种概率分布，表示数据集的所有可能结果。 Beta 分布基本上显示概率的概率，其中 α 和 β 可以取任何取决于成功/失败概率的值。

Beta 分布的概率密度函数的一般公式为：

$f(x)=\frac{(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1}}{B(p,q)(b-a)^{p+q-1})}\hspace{.3in} a \le x \le b; p, q > 0.$

在哪里 ，

• p 和 q 是形状参数
• a 和 b 是下限和上限
• a≤x≤b
• p,q>0
• B(p,q) 是 beta函数

为了具体了解 R 中的 beta 分布，我们将了解 beta 函数。 Beta函数是 beta 分布的一个组成部分（R 中的 beta函数可以使用 beta (a,b)函数），其中包括这些 dbeta 、 pbeta 、 qbeta 和 rbeta ，它们是 Beta 分布的函数。

Beta函数定义为：

$B(\alpha ,\beta )=\int_{0}^{1} t^{^{\alpha -1}}(1-t)^{\beta } dt$

a = 0 且 b = 1 的情况称为标准 Beta 分布。因此标准的 beta 分布是：

$f(x)=\frac{(x)^{p-1}(1-x)^{q-1}}{B(p,q)} \displaystyle \propto {(x)^{p-1}}{(1-x)^{q-1}}\hspace{.3in} 0 \le x \le 1; p, q > 0.$

通过β分布，我们还可以找出集中趋势的度量，如均值、中值模式，以及方差等统计离散的度量。

为什么是 Beta 发行版？

为什么我们实际上可能想要选择 beta 分布来指定关于 theta 的先验知识，主要原因之一是该分布定义在 [0,1] 的范围内，因此当我们使用 beta 分布时，使用 beta 分布是一种非常自然的分布正在谈论概率，我们想要指定关于某事物发生概率的先验知识。

Beta 分布的信念范围

信念的范围是我们实际上可以通过改变 p 和 q 的参数即形状参数来定义一个很大的范围。

让我们举一个例子来更好地理解它。

S.no.	p	q
1	0.5	0.5
2	0.5	1
3	1	1
4	3	3

让我们从 p 和 q 都是 0.5 开始。我们把 1/2 放在这个等式中：

$f(x)={(x)^{p-1}}{(1-x)^{q-1}}\hspace{.3in} 0 \le x \le 1; p, q > 0.$

在这之后它变成$f(x | p,q) = {(x)^{-1/2}(1-x)^{-1/2}}\hspace{.3in} 0 \le x \le 1; p, q > 0.$

那么我们也可以这样写这个方程：

$f(x |p,q) = \frac {1}{(x)^{1/2}(1-x)^{1/2}}\hspace{.3in} 0 \le x \le 1; p, q > 0.$

因此，从上面的等式我们观察到，如果 x 变为 0 或 1 ，则我们有无穷大。然后我们将计算所有 p 和 q 值的点。 Beta 分布的概率分布函数（Probability distribution 函数）由上述观察可以形成三种形状：具有渐近端的 U 形、钟形、严格递增/递减甚至直线。当您更改 p 或 q 的值时，分布的形状也会发生变化。

因此，图表将如下所示：

现在，让我们在 R 中绘制 Beta 分布函数，以便更好地理解它们。首先，绘制 Beta 密度，然后绘制所有其他函数。

β密度

用于绘制我们知道的 beta 密度，它将位于 (0,1) 的范围之间。我们在图中使用了一个 dbeta 和 plot函数。

 Syntax: dbeta(xvalues,alpha,beta)

示例 1：在这里，我们可以观察 Beta Density(1,1) 的图，我们可以观察到 0 和 1 之间的均匀分布。

R

# Creating the Sequence
gfg = seq(0, 1, by = 0.1)
  
# Plotting the beta density
plot(gfg, dbeta(gfg, 1,1), xlab="X",
     ylab = "Beta Density", type = "l",
     col = "Red")

输出：

Beta 密度图 (1,1)

示例 2：在这里，我们可以观察到 Beta Density(2,1) 的绘图，我们可以观察到线性增加的函数，在上面的绘图中，我们可以看到这些点更有可能接近 1 而不是 0 并且它们上升以成比例的方式。如果我们只是将图从 (2,1) 更改为 (1,2)，我们可以看到这些点更有可能接近 0 而不是 1。

电阻

# Creating the Sequence
gfg = seq(0,1, by=0.1)
  
# Case 2
plot(gfg, dbeta(gfg, 2,1), xlab="X",
     ylab = "Beta Density", type = "l",
     col = "Red") 

输出：

Beta 密度图 (2,1)

示例 3：在这里，我们可以观察 Beta Density(2,2) 的绘图，其中我们可以观察到接近 0 和 1 之间的二次函数值，但最有可能具有接近 1/2 的值。

电阻

# Creating the Sequence
gfg = seq(0,1, by=0.1)
  
# Case 3
plot(gfg, dbeta(gfg, 2,2), xlab = "X",
     ylab = "Beta Density", type = "l",
     col = "Red")

输出：

Beta 密度图 (2,2)

累积分配函数

您可以参考此链接了解 Beta 分布函数的功能。

在我们的例子中，我们拥有的数据显示了可以取 0 到 1 之间的任何数值的平均值，如您所见，0,1 是上述代码第 3 行中的参数，因此通过 beta 分布，我们描述了一个值在 0 到 1 之间的有界连续分布，主要模拟随机实验成功概率的不确定性，在我们的例子中，它是具有特定平均值的概率的概率。

因此，它经常用于与比例、频率或百分比相关的不确定性问题。

电阻

# The Beta Distribution
plr.data <- data.frame(
  player_avg <- c(seq(0, 1, by = 0.025)),
  stringsAsFactors = FALSE
)
  
# Print the data frame.            
print(plr.data)
print(plr.data$player_avg)
by1 <- dbeta(plr.data$player_avg, shape1 = 5, shape2 = 8)
par(mar = rep(2,4))
plot(by1)
  
# Cummilative distribution function 
by2<- pbeta(plr.data$player_avg, shape1 = 4, shape2 = 6) 
par(mar = rep(2,4))
plot(by2)
  
# Inverse Cummilative distribution function 
by3 <- qbeta(plr.data$player_avg, shape1 = 4, shape2 = 6)
par(mar = rep(2,4))
plot(by3)
  
b4 <- rbeta(plr.data$player_avg, shape1 = 5, shape2 = 8)
par(mar = rep(2,4))
plot(density(b4), main = "Rbeta Plot")

输出：