统计-Beta分布

介绍

Beta分布是一个常用的概率分布，常用于表示在[0,1]区间内的概率分布。在统计学中，Beta分布是用来建立二项式分布参数 $p$ 的后验分布的共轭先验分布。它也可以用来建立 Bernoulli 分布参数 $p$ 的贝叶斯分析。

Beta分布的算法

在Python中，我们可以使用 scipy 库中的 beta 函数来计算 Beta 分布。下面是一个使用 beta 函数输出 Beta 分布概率密度函数(PDF)的例子：

from scipy.stats import beta
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义 Beta 分布的四个参数
a = 2
b = 5
x = np.linspace(0, 1, 101)

# 计算 Beta 分布的概率密度函数
pdf = beta.pdf(x, a, b)

# 绘制概率密度函数图像
plt.plot(x, pdf)
plt.title("Beta Distribution PDF")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Probability Density")
plt.show()

输出的图像如下所示：

Beta分布的应用

Beta 分布在统计学和机器学习中有着广泛的应用，下面是一个例子：

假设我们观察到了一系列二元分类数据 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)$，其中 $x_i$ 是一个特征向量，$y_i$ 为0或1。我们想要利用这些数据来训练一个逻辑回归模型，对于新的特征向量 $x$ 预测其 $y$ 值。

我们可以使用一个 Beta 分布作为 $w$ 的先验分布，其中 $w$ 是逻辑回归模型的权重向量。具体地，我们可以取：

$$ p(w) = \prod_{i=1}^d \frac{1}{B(\alpha,\beta)} w_i^{\alpha-1} (1-w_i)^{\beta-1} $$

其中 $B(\alpha,\beta)$ 是 Beta 函数，$\alpha$ 和 $\beta$ 是超参数。

给定先验分布和数据，我们可以使用贝叶斯定理计算后验分布：

$$ p(w | x,y) \propto p(y | x,w) p(w) $$

其中 $p(y | x,w)$ 是逻辑回归的似然函数。然后我们可以使用样本数据来计算后验分布的期望值来得到新的预测结果。

总结

Beta 分布是一个非常有用的概率分布，在统计学和机器学习中有着广泛的应用。我们可以使用 scipy 库中的 beta 函数来计算 Beta 分布的概率密度函数，并且可以利用 Beta 分布来构建贝叶斯模型。