最小生成树 (MST) 的属性

对于连通图和无向图，该图的生成树是一个子图，它是一棵树并将所有顶点连接在一起。单个图可以有多个生成树。加权、连通、无向图的最小生成树 (MST)或最小权重生成树是权重小于或等于所有其他可能生成树的权重的生成树。生成树的权重是赋予生成树每条边的权重之和。

在本文中，我们将讨论MST的属性：

可能的多重性：

如果G(V, E)是一个图，那么图G 的每个生成树都由(V – 1) 条边组成，其中V是图中的顶点数， E是图中的边数。因此， (E – V + 1) 条边不是生成树的一部分。可能有几个相同权重的最小生成树。如果一个图的所有边权重都相同，那么该图的每棵生成树都是最小的。

考虑三个顶点的完整图并且所有边的权重都相同，则可能存在三个路径长度相同的生成树(也是最小的)。下面是说明相同的图像：

每棵生成树的权重都等于2 。

切割属性：

对于该图的任何切口C，如果C的割集的边缘E的重量严格小于C的割集的所有其它边缘的权重越小，则该边缘属于的所有MSTS图形。下面是说明相同的图像：

循环属性：

对于图中的任何循环C ，如果C的边 E的权重大于 C的所有其他边的单独权重，则该边不能属于MST 。在上图中，在循环ABD 中，边BD不能出现在任何最小生成树中，因为它在循环中的所有边中具有最大的权重。

唯一性：

如果每条边都有不同的权重，那么将只有一个，即唯一的最小生成树。

• 最小成本边：如果图的最小成本边是唯一的，则该边包含在任何 MST 中。例如，在上图中，边AB (权重最小)总是包含在 MST 中。
• 如果将一条新边添加到生成树中，那么它将变成循环的，因为每个生成树都是最小的非循环的。在上图中，如果在得到的 MST 中加入边 AD或BC ，那么就会形成一个循环。
• 生成树是最小连接的，即，如果从生成树中删除任何边，它将断开图。 在上图中，如果从生成的 MST 中删除任何边，那么它将断开图。

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