MST | 最小生成树的应用

在图论中，最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）指的是所有生成树中，边的权值和最小的那棵生成树。最小生成树可以用来解决许多实际问题，如道路规划、通讯网络建设等。本文将介绍最小生成树的应用。

Kruskal 算法

Kruskal 算法是求解最小生成树的常用算法之一。它的基本思想是：将所有边按权值从小到大排序，依次加入生成树中，若加入某条边会与已有的边形成环则舍弃该边。具体算法流程如下：

1. 将所有边按权值从小到大排序。
2. 依次加入边，若形成环则舍弃该边，直至 n-1 条边加入生成树中（n 为点的数量）。

Kruskal 算法的时间复杂度为 $O(m\log n)$（m 为边数，n 为点数），较为高效。下面是一个 Kruskal 算法的示例代码：

def kruskal(graph: List[Tuple[int, int, int]]) -> List[Tuple[int, int, int]]:
    parent = [i for i in range(len(graph))]  # 并查集初始化
    graph.sort(key=lambda x: x[2])  # 将边按权值排序
    res = []
    for edge in graph:
        a, b, w = edge
        root_a, root_b = find(parent, a), find(parent, b)
        if root_a != root_b:  # 不在同一集合中，不会形成环
            union(parent, root_a, root_b)
            res.append(edge)
        if len(res) == len(parent) - 1:
            break
    return res

最短路径

最小生成树可以用来求解带权无向连通图的最短路径。简单来说，求带权图的最短路径可以先求出它的最小生成树，然后在这棵树上找出连接起点和终点的路径即可。一般采用 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法寻找最短路径。这里给出 Dijkstra 算法的示例代码：

import heapq

def dijkstra(graph: List[List[Tuple[int, int]]], start: int, end: int) -> int:
    pq = [(0, start)]  # 构造最小堆
    dist = {i: float('inf') for i in range(len(graph))}
    dist[start] = 0
    while pq:
        d, node = heapq.heappop(pq)
        if node == end:
            break
        if d > dist[node]:  # 保证取出的是距离最小的节点
            continue
        for neighbor, weight in graph[node]:
            if dist[node] + weight < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = dist[node] + weight
                heapq.heappush(pq, (dist[neighbor], neighbor))
    return dist[end] if dist[end] != float('inf') else -1

网络相似性

最小生成树还可以用于计算网页之间的相似性，即两个网页之间是否有共同的出度链接。该方法的基本思想是：将所有网页看做节点，将它们之间的链接看做无向边，并将边的权值设置为网页之间的 Jaccard 相似度。通过计算最小生成树，可以找出具有相似内容的网页，从而推荐给用户。

电子设计自动布线

在电路设计中，自动布线是一个经常遇到的问题。对于一个电子电路，自动布线算法的目标是自动选择一组路径，使得路径的总长度最短，且这些路径不会重叠或者交叉。使用最小生成树可以解决自动布线问题。如下图所示，电路当中的元器件之间可以看作点的集合，它们之间的连接可以看做无向边。最小生成树的算法可以帮助我们选择最短的连接路径。

总结

最小生成树是一种十分实用的算法，可以用来解决多种实际问题，如图的最短路径、电路自动布线等。Kruskal 算法是求解最小生成树的常用算法之一，时间复杂度高效。在实际应用当中，可以结合其他算法，如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法等，来实现更为复杂的功能。