介绍 ：
最基本的逻辑形式是命题逻辑。没有变量的命题是唯一被考虑的断言。因为命题中没有变量，它们要么总是真，要么总是假。
例子 –
- P : 2 + 4 = 5. (Always False) 是一个命题。
- Q : y * 0 = 0. (Always true) 是一个命题。
大多数数学结论都表示为含义： P 和 Q : P ⇒ Q
我们知道 –
| P | Q | P ⇒ Q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
证明类型：
假设我们要证明蕴涵 P ⇒ Q。这里有几个选项供您考虑。
1. 琐碎的证明——
如果我们知道 Q 是真的，那么无论 P 的真值是多少，P ⇒ Q 都是真的。
例子 –
如果 geeksforgeeks 组织中有 1000 名员工，则 3 2 = 9。
解释 –
让 P : geeksforgeeks 组织有 1000 名员工 & Q : 3 2 = 9。
我们知道 Q 始终为真，在真值表中我们可以看到，只要 Q 为真，P ⇒ Q 为真，无论 P 的真值是多少。
2. 真空证明——
如果 P 是其他假设的合取(例如：P = A ^ B ^ C)并且我们知道这些假设中的一个或多个是错误的，那么 P 是错误的，因此无论 Q 的真值如何，P → Q 都是空的.
例子 –
如果 5 ！ = 100，然后是 3 ！ = 6。
解释 –
让P：5！ = 100，& 问：3 ！ = 6。
我们知道 P 总是假的，在真值表中我们可以看到，每当 P 为假时，P ⇒ Q 为真，无论 Q 的真值是多少。
3. 直接证明——
假设 P，然后使用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 Q。
例子 –
对于所有整数 p 和 q，如果 p 和 q 是奇数，则 p + q 是偶数。
让 P 表示：p 和 q 是奇数
Q : p + q 是偶数
证明：P ⇒ Q
证明 –
由于 p & q 是奇数，它们可以表示为：
假设：p = 2m + 1 和 q = 2n + 1，其中 m & n 也是一些整数。
那么： p + q =
= (2m + 1) + (2n +1)(替换定律)
= am + 2n + 2(加法的结合律和交换律)
= 2(m + n + 1)(分配律)
= 可被 2 整除的数，因此是偶数。
4. 矛盾证明——
我们从假设正确而结论不正确的假设开始，并试图找出矛盾。
反证法是合法的，因为：
¬(P ∧ ¬Q) 等价于 P ⇒ Q
如果我们能证明 (P ∧ ¬Q) 为假，则¬(P ∧ ¬Q) 为真，等价陈述 P ⇒ Q 同样为真。
例子 –
设 x 和 y 是实数。如果 5a + 25b = 156，则 a 或 b 不是整数。
证明 –
让 P : 5a + 25b = 156 & Q : a 或 b 不是整数
¬Q : a 或 b 是整数
所以，我们假设 a 和 b 都是整数 (¬Q) ⇒ 5(a + 5b) = 156(分配律)
⇒ 由于 a 和 b 是整数，这意味着 156 可以被 5 整除。
然而，整数 156 无论如何都不能被 5 整除。这个矛盾给出了结果。
这意味着 (P ∧ ¬Q) 是假的，因为 P 是假的
then¬(P ∧ ¬Q) 为真，等价陈述 P ⇒ Q 同样为真。
5.反证法——
我们可以通过证明 ¬Q ⇒ ¬P 间接证明 P ⇒ Q 。假设 ¬Q，然后使用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 ¬P。
示例：对于所有整数 a 和 b，如果 a*b 是偶数，则 a 是偶数或 b 是偶数。
证明：我们证明命题的逆反证：
让 P : a*b 是偶数 & Q : a 是偶数或 b 是偶数。然后 ：
¬P : a*b 是奇数
¬Q : a 和 b 是奇数
假设 ¬Q 为真，即 a 和 b 都是奇数
a = 2m + 1 和 b = 2n + 1 ；其中 m 和 n 是整数。
然后 ：
a*b= (2m + 1)(2n + 1)(通过替换)
= 4mn + 2m + 2n + 1(根据结合律、交换律和分配律)
= 2(2mn + m + n) + 1(根据分配律)
由于 a*b 是整数的两倍(As : 2mn + m + n 也是整数)加 1，因此 a*b 是奇数。
所以它表明 ¬Q ⇒ ¬P。因此 P ⇒ Q
问：证明：n 可以是奇数当且仅当 n 2是奇数。
解决方案。
为了证明这个命题，我们必须证明两个含义：
- 如果 n 是奇数，则 n 2是奇数
- 如果 n 2是奇数，则 n 是奇数
认为 –
P : n 是奇数 & Q : n2 是奇数。
1. P ⇒ Q :
我们正在使用直接证明来证明它。
假设 n 是一个奇数。
然后： n= 2p+ 1 ；对于某个整数 p。
那么n 2 = (2p+ 1) 2 = 4p 2 + 4p+ 1 =2(2p 2 + 2a) + 1,;这是 2*(某个整数)+ 1。
因此，我们可以说n 2是奇数。因此 P ⇒ Q
2. Q ⇒ P ：
我们在这里使用反证法。
¬Q : n 2是偶数，而 ¬P : n 是偶数。
我们需要证明： ¬P ⇒ ¬Q ( ¬P ⇒ ¬Q 表示 Q ⇒ P)
假设 n 是偶数，
那么 n= 2 ;对于某个整数 p。
然后 n2= (2p) 2 = 4p 2 = 2(2p 2 )，这是一个偶数，因为它可以被 2 整除。
从 (1.) P ⇒ Q & 从 (2) Q ⇒ P，n 可以是奇数当且仅当 n2 是奇数。
2.如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。
解决方案 ：
使用直接证明：
假设：x 可以被 4 整除
然后： x = k * 4 ；其中 k 是某个整数(根据除法的定义)
所以，x = k * (2 * 2)
所以，x = (k * 2 )* 2(乘法的结合性质)
所以， x = P * 2 其中 P = k * 2 ；是一个整数。
因此，我们可以说 x 也可以被 2 整除。
3. 用矛盾证明：如果 y + y = y 则 y = 0。
解决方案 ：
让 P : y +y = y & Q : y = 0
证明：(P ∧ ¬Q) 为假，因为(P ∧ ¬Q) 为假，则¬(P ∧ ¬Q) 为真，等价陈述P ⇒ Q 同样为真。
P : y + y= y 和 ¬Q : y~= 0。
(P ∧ ¬Q) 意味着： 那么 2y =y 并且当 y ~= 0 时，我们可以将两边除以 y。
结果，我们得到： 2 = 1，这是一个矛盾。
因此，(P ∧ ¬Q) 为假，因此 P ⇒ Q 为真。