一个功能分配给集合的每个元素，恰好是相关集合的一个元素。函数可以在各种领域中找到其应用，例如表示算法的计算复杂性，计数对象，研究序列和字符串等。本部分的第三章也是最后一章重点介绍了功能的重要方面。

功能-定义

函数或映射(定义为$ f：X \ rightarrow Y $)是从一组X的元素到另一组Y的元素(X和Y是非空集)之间的关系。 X称为功能域，Y称为函数“ f”的共域。

函数’f’是X和Y上的关系，使得对于X $中的每个$ x \，在Y $中存在唯一的$ y \ in在Y $中，使得$(x，y)\ in R $。 “ x”称为原像，“ y”称为函数f的像。

一个函数可以是一对一或多对一，但不能一对多。

内射/一对一函数

函数$ f：如果B $中的每个$ b \ A $中最多存在一个$ a \ a，使得$ f(s)= t $，则\ rightarrow B $是内射或一对一函数。

这意味着如果$ a_1 \ ne a_2 $暗示$ f(a1)\ ne f(a2)$，则函数f是内射的。

例

• $ f：N \ rightarrow N，f(x)= 5x $是内射词。

• $ f：N \ rightarrow N，f(x)= x ^ 2 $是单射的。

• $ f：R \ rightarrow R，f(x)= x ^ 2 $不是形容词，因为$(-x)^ 2 = x ^ 2 $

上位词/本体函数

函数$ f：如果f的图像等于其范围，则\ rightarrow B $是射影(上)。等效地，对于B $中的每个$ b \，在A $中存在一些$ a \ in，使得$ f(a)= b $。这意味着对于B中的任何y，A中都存在一些x，使得$ y = f(x)$。

例

• $ f：N \ rightarrow N，f(x)= x + 2 $是射影。

• $ f：R \ rightarrow R，f(x)= x ^ 2 $不是排斥性的，因为我们找不到平方为负的实数。

双射/一对一通讯员

函数$ f：当且仅当f同时是内射和外射时，\ rightarrow B $是双射或一对一的对应。

问题

证明由$ f(x)= 2x – 3 $定义的函数$ f：R \ rightarrow R $是双射函数。

解释-我们必须证明该函数既是内射的又是外射的。

如果$ f(x_1)= f(x_2)$，则$ 2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 $，这意味着$ x_1 = x_2 $。

因此，f是单射的。

在这里，$ 2x – 3 = y $

因此，$ x =(y + 5)/ 3 $属于R，$ f(x)= y $。

因此，f是射影。

由于f既是形容词也是内射词，我们可以说f是双射词。

函数的逆

一对一对应函数$ f的逆函数：A \ rightarrow B $，是函数$ g：B \ rightarrow A $，具有以下属性-

$ f(x)= y \右箭头g(y)= x $

如果函数f的逆函数g存在，则将其称为invertible 。

例

• 函数$ f：Z \ rightarrow Z，f(x)= x + 5 $是可逆的，因为它具有反函数$ g：Z \ rightarrow Z，g(x)= x-5 $。

• 函数$ f：Z \ rightarrow Z，f(x)= x ^ 2 $是不可逆的，因为它不是一对一的，因为$(-x)^ 2 = x ^ 2 $。

功能组成

两个函数$ f：A \ rightarrow B $和$ g：B \ rightarrow C $可以组成一个合成$ gof $。这是由$(gof)(x)= g(f(x))$定义的从A到C的函数

例

令$ f(x)= x + 2 $和$ g(x)= 2x + 1 $，找到$(fog)(x)$和$(gof)(x)$。

解

$(雾)(x)= f(g(x))= f(2x +1)= 2x +1 + 2 = 2x + 3 $

$(gof)(x)= g(f(x))= g(x + 2)= 2(x + 2)+ 1 = 2x + 5 $

因此，$(fog)(x)\ neq(gof)(x)$

关于构图的一些事实

• 如果f和g是一对一的，则函数$(gof)$也是一对一的。

• 如果f和g在上，则函数$(gof)$也在上。

• 组合始终具有关联属性，但不具有交换属性。