📜  离散数学格

📅  最后修改于: 2020-12-23 01:14:44             🧑  作者: Mango

格子:

令L是在称为met和join的两个二进制操作下闭合的非空集,用∧和denoted表示。如果以下公理成立,则将L称为晶格,其中a,b,c是L中的元素:

1)交换律:-
(a)a∧b = b∧a(b)a∨b = b∨a

2)关联法:
(a)(a∧b)∧c = a∧(b∧c)(b)(a∨b)∨c = a∨(b∨c)

3)吸收法:
(a)a∧(a∨b)= a(b)a∨(a∧b)= a

双重性:

格(L,∧,∨)中任何语句的对偶定义为通过互换∧an obtained获得的语句。

例如,a(b∨a)= a∨a的对偶是a∨(b∧a)= a∧a。

有界格子:

如果晶格L具有最大元素1和最小元素0,则称为有界晶格。

例:

  • 由于∅是P(S)的最小元素,而集合S是P(S)的最大元素,因此在交集和并集运算下的集合S的幂集P(S)是有界晶格。
  • 通常≤的+ ve整数I +的集合不是有界晶格,因为它的最小元素为1,但最大元素不存在。

有界格的性质:

如果L是有界晶格,则对于任何元素a∈L,我们具有以下恒等式:

  • a∨1 = 1
  • ∧1= a
  • ∨0=一个
  • ∧0= 0

定理:证明每个有限格L = {a 1 ,a 2 ,a 3 …. a n }是有界的。

证明:我们给出了有限格:

L = {a 1 ,a 2 ,a 3 …. a n }

因此,格L中的最大的元素是1∨2∨一个3∨….∨añ。

另外,晶格L的至少元件是1个∧2∧a3∧….∧añ。

由于每个有限晶格都存在最大和最小元素。因此,L是有界的。

子格:

考虑一个格子L的非空子集L 1。如果L 1本身是一个格子,则L 1被称为L的子格子,即L的运算,即a∨b∈L 1和a a b∈大号1每当∈L 1b∈L1。

示例:考虑在除数运算下所有+ ve整数I +的晶格。 n> 1的所有除数的晶格D n是I +的子晶格。

确定D 30包含至少四个元素的所有子晶格D 30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}。

解决方案: D 30的子晶格至少包含四个元素,如下所示:

1. {1,2,6,30} 2. {1,2,3,30}
3.="" 4.="" 5.="" 6.="" 7.="" p="" {1,3,15,30}
="" {1,3,6,30}
="" {1,5,10,30}="" {1,5,15,30}="" {2,6,10,30}<="">

同构格:

两种晶格L 1和L 2被称为同构晶格如果有从L- 1至L 2即f双射:L 1⟶L 2,使得f(A∧B)= F(A)∧F(b)中并且f(a∨b)= f(a)∨f(b)

示例:确定图中所示的晶格是否同构。

解决方案:图中显示的晶格是同构的。考虑映射f = {(a,1),(b,2),(c,3),(d,4)}。例如f(b∧c)= f(a)=1。此外,我们有f(b)∧f(c)= 2∧3 = 1

分配格:

如果L的任何元素a,b和c都满足以下分布特性,则称该晶格L为分布晶格:

  • a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)
  • a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

如果晶格L不满足上述特性,则称其为非分布晶格。

例:

  • 在交集和并集的操作下,集合S的幂集P(S)是分布函数。因为对于任何集合a,b和b,a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)并且a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c) P(S)的c。
  • 图II中所示的晶格是分布式的。因为,它满足了从1、2、3和4中获取的所有有序三元组的分布特性。

补和补格:

令L为下界为o且上界为I的有界晶格。令a为L的元素。如果a∨x = I和a∧x = 0,则L中的元素x称为a的补数。

如果L有界且L中的每个元素都具有补码,则称晶格L是互补的。

示例:确定图中a和c的补码:

解:a的补数是d。因为a d = 1和a d = 0

c的补码不存在。因为,不存在任何元素c使得c∨c'= 1且c∧c'= 0。

模块化晶格:

如果a∨(b∧c)=(a∨b)∧c每当a≤c时,则格(L,∧,∨)被称为模格。

格的直接乘积:

让(L 1∨1∧1)和(L 2∨2∧2)是两个晶格。那么(L,∧,∨)是晶格的直接积,其中L = L 1 x L 2 ,其中L的二元运算∨(join)和∧(meet)使得对于任何(a 1 ,b 1 )和L中的(a 2 ,b 2)。

(A 1,B 1)∨(A 2,B 2)=(α1 1∨A 2,B 1∨2 B 2)
和(A 1,B 1)∧(A 2,B 2)=(α1 1∧A 2,B 1∧2 B 2)。

示例:考虑一个晶格(L,≤),如图所示。其中L = {1,2}。确定格点(L 2 ,≤),其中L 2 = L xL。

解决方案:晶格(L 2 ,≤)如图所示:


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