格子：

令L是在称为met和join的两个二进制操作下闭合的非空集，用∧和denoted表示。如果以下公理成立，则将L称为晶格，其中a，b，c是L中的元素：

1)交换律：-
(a)a∧b = b∧a(b)a∨b = b∨a

2)关联法：
(a)(a∧b)∧c = a∧(b∧c)(b)(a∨b)∨c = a∨(b∨c)

3)吸收法：
(a)a∧(a∨b)= a(b)a∨(a∧b)= a

双重性：

格(L，∧，∨)中任何语句的对偶定义为通过互换∧an obtained获得的语句。

例如，a(b∨a)= a∨a的对偶是a∨(b∧a)= a∧a。

有界格子：

如果晶格L具有最大元素1和最小元素0，则称为有界晶格。

例：

• 由于∅是P(S)的最小元素，而集合S是P(S)的最大元素，因此在交集和并集运算下的集合S的幂集P(S)是有界晶格。
• 通常≤的+ ve整数I ₊的集合不是有界晶格，因为它的最小元素为1，但最大元素不存在。

有界格的性质：

如果L是有界晶格，则对于任何元素a∈L，我们具有以下恒等式：

• a∨1 = 1
• ∧1= a
• ∨0=一个
• ∧0= 0

定理：证明每个有限格L = {a ₁ ，a ₂ ，a ₃ …. a _n }是有界的。

证明：我们给出了有限格：

L = {a ₁ ，a ₂ ，a ₃ …. a _n }

因此，格L中的最大的元素是_1∨2∨一个_{3∨….∨añ。}

另外，晶格L的至少元件是_{1个∧2∧a3∧….∧añ。}

由于每个有限晶格都存在最大和最小元素。因此，L是有界的。

子格：

考虑一个格子L的非空子集L _{1。如果L 1本身是一个格子，则L 1}被称为L的子格子，即L的运算，即a∨b∈L ₁和a a b∈大号₁每当∈L ₁和_b∈L1。

示例：考虑在除数运算下所有+ ve整数I _{+的晶格。} n> 1的所有除数的晶格D _{n是I +}的子晶格。

_{确定D 30}包含至少四个元素的所有子晶格_{D 30} = {1,2,3,5,6,10,15,30}。

解决方案： _{D 30}的子晶格至少包含四个元素，如下所示：

1. {1,2,6,30} 2. {1,2,3,30}
3.="" 4.="" 5.="" 6.="" 7.="" p="" {1，3，15，30}
="" {1，3，6，30}
="" {1，5，10，30}="" {1，5，15，30}="" {2，6，10，30}<="">

同构格：

两种晶格L ₁和L ₂被称为同构晶格如果有从L- ₁至L ₂即f双射：L _{1⟶L 2，}使得f(A∧B)= F(A)∧F(b)中并且f(a∨b)= f(a)∨f(b)

示例：确定图中所示的晶格是否同构。

解决方案：图中显示的晶格是同构的。考虑映射f = {(a，1)，(b，2)，(c，3)，(d，4)}。例如f(b∧c)= f(a)=1。此外，我们有f(b)∧f(c)= 2∧3 = 1

分配格：

如果L的任何元素a，b和c都满足以下分布特性，则称该晶格L为分布晶格：

• a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)
• a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

如果晶格L不满足上述特性，则称其为非分布晶格。

例：

• 在交集和并集的操作下，集合S的幂集P(S)是分布函数。因为对于任何集合a，b和b，a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)并且a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c) P(S)的c。
• 图II中所示的晶格是分布式的。因为，它满足了从1、2、3和4中获取的所有有序三元组的分布特性。

补和补格：

令L为下界为o且上界为I的有界晶格。令a为L的元素。如果a∨x = I和a∧x = 0，则L中的元素x称为a的补数。

如果L有界且L中的每个元素都具有补码，则称晶格L是互补的。

示例：确定图中a和c的补码：

解：a的补数是d。因为a d = 1和a d = 0

c的补码不存在。因为，不存在任何元素c使得c∨c'= 1且c∧c'= 0。

模块化晶格：

如果a∨(b∧c)=(a∨b)∧c每当a≤c时，则格(L，∧，∨)被称为模格。

格的直接乘积：

让(L _1∨1∧1)和(L _2∨2∧2)是两个晶格。那么(L，∧，∨)是晶格的直接积，其中L = L ₁ x L ₂ ，其中L的二元运算∨(join)和∧(meet)使得对于任何(a ₁ ，b ₁ )和L中的_{(a 2} ，b _2)。

(A _{1，B 1)∨(A 2，B 2)=(α1 1∨A 2，B 1∨2} B ₂₎
和(A _{1，B 1)∧(A 2，B 2)=(α1 1∧A 2，B 1∧2} B _2)。

示例：考虑一个晶格(L，≤)，如图所示。其中L = {1，2}。确定格点(L ² ，≤)，其中L ² = L xL。

解决方案：晶格(L ² ，≤)如图所示：