Z检验

Z-test 是一种统计方法，用于确定测试统计量的分布是否可以近似为正态分布。它是在方差已知且样本量较大(应>=30)时确定两个样本均值是否近似相同或不同的方法。

何时使用 Z 检验：

• 样本量应该大于 30。否则，我们应该使用 t 检验。
• 样本应从总体中随机抽取。
• 应该知道总体的标准偏差。
• 从总体中抽取的样本应该相互独立。
• 数据应该是正态分布的，但是对于大样本量，它被假定为正态分布。

假设检验

假设是对对象特定属性的有根据的猜测/声明。假设检验是一种验证实验主张的方法。

• 零假设：零假设是一种声明，即总体参数(例如比例、均值或标准差)的值等于某个声称的值。我们要么拒绝，要么不能拒绝原假设。零假设由H ₀表示。
• 备择假设：备择假设是声明参数的值与声称的值不同。用H _A表示。

显着性水平：表示我们接受或拒绝原假设的显着性程度。由于在大多数实验中，接受或拒绝假设不可能达到 100% 的准确度，因此我们选择一个显着性水平。它由 alpha (∝)表示。

执行 Z 检验的步骤：

• 首先，确定原假设和替代假设。
• 确定显着性水平 (∝)。
• 使用 z-test 找到 z 的临界值
• 计算 z 检验统计量。下面是计算 z 检验统计量的公式。

$Z = \frac{(\overline{X}- \mu)}{\left ( \sigma /\sqrt{n} \right )}$

• 在哪里，
  • X¯：样本的平均值。
  • Mu：人口的平均值。
  • Sd：总体的标准差。
  • n：样本量。
• 现在与假设进行比较，决定是否拒绝原假设

Z 检验的类型

• 左尾测试：在这个测试中，我们的拒绝区域位于分布的最左边。这里我们的零假设是声称的价值小于或等于平均人口价值。

• 右尾测试：在这个测试中，我们的拒绝区域位于分布的最右边。这里我们的零假设是声称的价值小于或等于平均人口价值。

• 双尾测试：在这个测试中，我们的拒绝区域位于分布的两个极端。这里我们的零假设是声称的价值等于平均人口价值。

下面是执行 z-test 的示例：

问题：一所学校声称学生的学习比一般学校更聪明。在计算 50 名学生的 IQ 分数时，平均值为 11。总体 IQ 的平均值为 100，标准差为 15。在 5% 的显着性水平上说明校长的主张是否正确。

• 首先，我们定义零假设和备择假设。我们的零假设将是：

$H_0 : \mu = 100$

和我们的替代假设。

$H_A : \mu > 100$

• 说明显着性水平。在这里，我们在这个问题中给出的显着性水平(∝=0.05)，如果没有给出，那么我们取 ∝=0.05。
• 现在，我们查看 z 表。对于 ∝=0.05 的值，右尾检验的 z 得分为 1.645。
• 现在，我们对问题进行 Z 检验：

$Z = \frac{(\overline{X}- \mu)}{\left ( \sigma /\sqrt{n} \right )}$

• 在哪里：
  • X = 110
  • 平均值(亩)= 100
  • 标准偏差 (sigma) = 15
  • 显着性水平 (alpha) = 0.05
  • n = 50

$\frac{\left ( 110-100\right )}{15/\sqrt{50}}$$\frac{10}{(15/sqrt(50))}$$\frac{10}{2.12}$$4.71$

• 这里 4.71 > 1.645，所以我们拒绝原假设。如果 z-test 统计量小于 z-score，那么我们不会拒绝原假设。

Python3

# imports
import math
import numpy as np
from numpy.random import randn
from statsmodels.stats.weightstats import ztest
  
# Generate a random array of 50 numbers having mean 110 and sd 15
# similar to the IQ scores data we assume above
mean_iq = 110
sd_iq = 15/math.sqrt(50)
alpha =0.05
null_mean =100
data = sd_iq*randn(50)+mean_iq
# print mean and sd
print('mean=%.2f stdv=%.2f' % (np.mean(data), np.std(data)))
  
# now we perform the test. In this function, we passed data, in the value parameter
# we passed mean value in the null hypothesis, in alternative hypothesis we check whether the
# mean is larger
  
ztest_Score, p_value= ztest(data,value = null_mean, alternative='larger')
# the function outputs a p_value and z-score corresponding to that value, we compare the 
# p-value with alpha, if it is greater than alpha then we do not null hypothesis 
# else we reject it.
  
if(p_value <  alpha):
  print("Reject Null Hypothesis")
else:
  print("Fail to Reject NUll Hypothesis")

Reject Null Hypothesis

两次抽样 z 检验：

在这个测试中，我们提供了 2 个正态分布的独立种群，我们从这两个种群中随机抽取样本。在这里，我们认为 u ₁和 u ₂是总体均值 X ₁和 X ₂是观察到的样本均值。在这里，我们的零假设可能是这样的：

$H_{0} : \mu_{1} -\mu_{2} = 0$

和替代假设

$H_{1} : \mu_{1} - \mu_{2} \ne 0$

以及计算z-test分数的公式：

$Z = \frac{\left ( \overline{X_{1}} - \overline{X_{2}} \right ) - \left ( \mu_{1} - \mu_{2} \right )}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}}$

其中sigma ₁和sigma ₂是标准差， n ₁和 n ₂是对应于 u ₁和 u ₂的总体样本量。

第一类错误和第二类错误：

• 第一类错误：当我们拒绝原假设时，即使假设为真，也会发生第一类错误。此错误由 alpha 表示。
• 第二类错误：当我们没有拒绝原假设时，即使假设是错误的，也会发生第二类错误。此错误由 beta 表示。

	Null Hypothesis is TRUE	Null Hypothesis is FALSE
Reject Null Hypothesis	Type I Error (False Positive)	Correct decision
Fail to Reject the Null Hypothesis	Correct decision	Type II error (False Negative)