门|门CS 2011 |问题 33

考虑随机值X = { x ₁ , x ₂ ,…, x _n } 的有限序列。设μ _x是平均值， σ _x是 X的标准偏差。令另一个等长的有限序列 Y从中导出为 y _i = a*x _i + b ，其中a和b是正常数。令μ _y为平均值， σ _y为该序列的标准偏差。以下哪一项陈述是不正确的?
(A) X 中 X 众数的索引位置与 Y 中 Y 众数的索引位置相同。
(B) X 中 X 中位数的索引位置与 Y 中 Y 中位数的索引位置相同。
(C) μ _y = aμ _x +b
(D) σ _y = aσ _x +b

答案： (D)
解释：添加一个像 b 这样的常数会改变分布，同时乘以一个常数，例如沿着中位数拉伸分布

众数是分布中最频繁的数据，所以众数的索引位置不会改变。从上图可以看出，中位数的指数位置也不会改变。现在平均
$Y_{i} = a X_{i} + b \newline \newline \sum Y_{i} = \sum(aX-{i} + b) \newline \sum Y_{i} = a(\sum X_{i}) + nb \newline (\sum Y_{i})/n = a(\sum X_{i})/n + b \newline \mu _{y} = a\mu_{x} + b$

对于标准偏差
$\newline \newline \sigma _{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (\mu_{y} - Y_{i})^{2}} \newline \newline \sigma _{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (a\mu_{x} + b - Y_{i})^{2}} \newline \sigma _{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (a\mu_{x} + b - aX_{i} - b)^{2}} \newline \newline \sigma _{y} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (a\mu_{x} - aX_{i} )^{2}} \newline \newline \sigma _{y} = a\sqrt{\frac{1}{n} \sum (\mu_{x} - X_{i} )^{2}} \newline \newline \sigma _{y} = a\sigma_{x}$

这个问题的测验