📜  证明类型 – 谓词逻辑 |离散数学

📅  最后修改于: 2021-09-27 06:17:39             🧑  作者: Mango

介绍 :
最基本的逻辑形式是命题逻辑。没有变量的命题是唯一被考虑的断言。因为命题中没有变量,它们要么始终为真,要么始终为假。
例子 –

  1. P : 2 + 4 = 5. (Always False) 是一个命题。
  2. Q : y * 0 = 0. (Always true) 是一个命题。

大多数数学结论都表示为含义: P 和 Q : P ⇒ Q
我们知道 –

P Q  P ⇒ Q
T T T
T F F
F T T
F F T

证明类型:
假设我们要证明蕴涵 P ⇒ Q。这里有几个选项供您考虑。

1. 琐碎的证明——
如果我们知道 Q 是真的,那么无论 P 的真值是多少,P ⇒ Q 都是真的。
例子 –
如果 geeksforgeeks 组织中有 1000 名员工,则 3 2 = 9。
解释 –
让 P : geeksforgeeks 组织有 1000 名员工 & Q : 3 2 = 9。
我们知道 Q 始终为真,并且在真值表中我们可以看到,只要 Q 为真,P ⇒ Q 为真,无论 P 的真值是多少。

2. 真空证明——
如果 P 是其他假设的合取(例如:P = A ^ B ^ C)并且我们知道这些假设中的一个或多个是错误的,则 P 是错误的,因此无论 Q 的真值如何,P → Q 都是空的.

例子 –
如果 5 ! = 100,然后是 3 ! = 6。
解释 –
让P:5! = 100,& 问:3 ! = 6。
我们知道 P 总是假的,在真值表中我们可以看到,只要 P 是假的,无论 Q 的真值是多少,P ⇒ Q 都是真。

3. 直接证明——
假设 P,然后使用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 Q。
例子 –
对于所有整数 p 和 q,如果 p 和 q 是奇数,则 p + q 是偶数。
让 P 表示:p 和 q 是奇数
Q : p + q 是偶数
证明:P ⇒ Q
证明 –
由于 p & q 是奇数,它们可以表示为:
假设:p = 2m + 1 和 q = 2n + 1,其中 m & n 也是一些整数。
那么: p + q =
= (2m + 1) + (2n +1)(替换定律)
= am + 2n + 2(加法的结合律和交换律)
= 2(m + n + 1)(分配律)
= 可被 2 整除的数,因此是偶数。

4. 矛盾证明——
我们从假设正确而结论不正确的假设开始,并试图找出矛盾。
反证法是合法的,因为:
¬(P ∧ ¬Q) 等价于 P ⇒ Q
如果我们能证明 (P ∧ ¬Q) 为假,则¬(P ∧ ¬Q) 为真,等价陈述 P ⇒ Q 同样为真。

例子 –
设 x 和 y 是实数。如果 5a + 25b = 156,则 a 或 b 不是整数。
证明 –
让 P : 5a + 25b = 156 & Q :   a 或 b 不是整数
¬Q : a 或 b 是整数
所以,我们假设 a 和 b 都是整数 (¬Q) ⇒ 5(a + 5b) = 156(分配律)
⇒ 由于 a 和 b 是整数,这意味着 156 可以被 5 整除。
然而,整数 156 无论如何都不能被 5 整除。这个矛盾给出了结果。
这意味着 (P ∧ ¬Q) 是假的,因为 P 是假的
then¬(P ∧ ¬Q) 为真,等价陈述 P ⇒ Q 同样为真。

5.反证法——
我们可以通过证明 ¬Q ⇒ ¬P 间接证明 P ⇒ Q 。假设 ¬Q,然后使用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 ¬P。

示例:对于所有整数 a 和 b,如果 a*b 是偶数,则 a 是偶数或 b 是偶数。
证明:我们证明命题的逆反证:
让 P : a*b 是偶数 & Q : a 是偶数或 b 是偶数。然后 :
¬P : a*b 是奇数
¬Q : a 和 b 是奇数

假设 ¬Q 为真,即 a 和 b 都是奇数
a = 2m + 1 和 b = 2n + 1 ;其中 m 和 n 是整数。
然后 :
a*b= (2m + 1)(2n + 1)(通过替换)
= 4mn + 2m + 2n + 1(根据结合律、交换律和分配律)
= 2(2mn + m + n) + 1(根据分配律)

由于 a*b 是整数的两倍(As : 2mn + m + n 也是整数)加 1,因此 a*b 是奇数。
所以它表明 ¬Q ⇒ ¬P。因此 P ⇒ Q

问:证明:n 可以是奇数当且仅当 n 2是奇数。
解决方案。
为了证明这个命题,我们必须证明两个含义:

  1. 如果 n 是奇数,则 n 2是奇数
  2. 如果 n 2是奇数,则 n 是奇数

认为 –
P : n 是奇数 & Q : n2 是奇数。

1. P ⇒ Q :

我们正在使用直接证明来证明它。
假设 n 是一个奇数。
然后: n= 2p+ 1 ;对于某个整数 p。
那么n 2 = (2p+ 1) 2 = 4p 2 + 4p+ 1 =2(2p 2 + 2a) + 1,;这是 2*(某个整数)+ 1。
因此,我们可以说n 2是奇数。因此 P ⇒ Q

2. Q ⇒ P :
我们在这里使用反证法。
¬Q : n 2是偶数,而 ¬P : n 是偶数。
我们需要证明: ¬P ⇒ ¬Q ( ¬P ⇒ ¬Q 表示 Q ⇒ P)
假设 n 是偶数,
那么 n= 2 ;对于某个整数 p。
然后 n2= (2p) 2 = 4p 2 = 2(2p 2 ),这是一个偶数,因为它可以被 2 整除。

从 (1.) P ⇒ Q & 从 (2) Q ⇒ P,n 可以是奇数当且仅当 n2 是奇数。

2.如果一个数能被4整除,那么它也能被2整除。
解决方案 :
使用直接证明:
假设:x 可以被 4 整除
然后: x = k * 4 ;其中 k 是某个整数(根据除法的定义)
所以,x = k * (2 * 2)
所以,x = (k * 2 )* 2(乘法的结合性质)
所以, x = P * 2 其中 P = k * 2 ;是一个整数。
因此,我们可以说 x 也可以被 2 整除。

3. 用矛盾证明:如果 y + y = y 则 y = 0。
解决方案 :
让 P : y +y = y & Q : y = 0
证明:(P ∧ ¬Q) 为假,因为(P ∧ ¬Q) 为假,则¬(P ∧ ¬Q) 为真,等价陈述P ⇒ Q 同样为真。
P : y + y= y 和 ¬Q : y~= 0。
(P ∧ ¬Q) 意味着:那么 2y =y 并且当 y ~= 0 时,我们可以将两边除以 y。
结果,我们得到: 2 = 1,这是一个矛盾。
因此,(P ∧ ¬Q) 为假,因此 P ⇒ Q 为真。