TOC 中的 Kleene 定理 |第1部分

如果一种语言可以用有限自动机表示或者可以为它生成正则表达式，则称该语言是正则的。这个定义将我们引向一般定义：对于每个对应于该语言的正则表达式，可以生成一个有限自动机。

对于某些表达式，例如：- (a+b), ab, (a+b)* ;仅凭直觉制作有限自动机相当容易，如下所示。当我们提供更长的正则表达式时，问题就出现了。这带来了对 FA 生成的系统方法的需求，这已由 Kleene 在Kleene 定理中提出 – I

克莱恩定理-I：

For any Regular Expression r that represents Language L(r), there is a Finite Automata that accepts same language.

为了理解 Kleene’s Theorem-I，让我们考虑正则表达式的基本定义，我们观察到$$\phi$$ , $$\epsilon$$并且单个输入符号“a”可以包含在正则语言中，并且可以通过这些组合执行的相应操作是：

说， $$r_1$$和$$r_2$$是两个正则表达式。然后，

1. $$r_1$$ + $$r_2$$也是一个正则表达式，对应的语言是L( $$r_1$$ ) UL( $$r_2$$ )
2. $$r_1$$ . $$r_2$$也是一个正则表达式，对应的语言是L( $$r_1$$ ).L( $$r_2$$ )
3. $$r_1$$ * 也是一个正则表达式，对应的语言是 L( $$r_1$$ )*

我们可以进一步将这个定义与 Null Transitions 结合使用，通过两个或多个较小的有限自动机(每个对应于一个正则表达式)的组合来产生 FA。

让 S 接受 L = {a} 并且 T 接受 L = {b}，那么 R 可以使用提供的操作表示为 S 和 T 的组合：

R = S + T

我们观察到，

1. 在联合操作的情况下，我们可以有一个新的开始状态，从这个状态开始，空转换继续到两个有限状态机的开始状态。
2. 两个有限自动机的最终状态都转换为中间状态。最终状态统一为一个可以通过空转换遍历的状态。

R = S.T 

我们观察到，

1. 在串联操作的情况下，我们可以有与 S 相同的起始状态，唯一的变化发生在 S 的结束状态，它被转换为中间状态，然后是空转换。
2. Null 转换之后是 T 的起始状态，T 的最终状态用作 R 的结束状态。

R = S*

我们观察到，

1. 添加了一个新的起始状态，并且 S 已被放置为中间状态，以便可以合并自循环条件。
2. 开始和结束状态已分别定义，因此自循环条件不会受到干扰。

现在我们已经了解了一般操作。让我们看看如何使用 Kleene’s Theorem-I 为给定的正则表达式生成 FA。

Example:
Make a Finite Automata for the expression (ab+a)* 

我们看到，使用 Kleene 定理 – 我给出了一种系统方法来为所提供的正则表达式生成有限自动机。