TOC中的约简定理
约简定理:
从 A 到 B 的归约是一个函数
f : Σ1* → Σ2* such that For any w ∈ Σ1*, w ∈ A if f(w) ∈ B
- 每个 w ∈ A 映射到某个 f(w) ∈ B。
- 每个 w ∉ A 映射到某个 f(w) ∉ B。
- f 不必是单射或满射。
为什么减少很重要?
如果语言 A 简化为语言 B,我们可以使用 B 的识别器/共同识别器/决定器来识别/共同识别/决定问题 A。
如果 A 可简化为 B ( A<= B ) –
- 问题 A 很容易简化为问题 B,它清楚地表明——问题“B”至少与问题“A”一样难。
要么
- ∀x, x ∈ A, 如果 f(x) ∈ B;其中 f 是从 A 到 B 的多对一缩减,表示为( A <= m B ) 。
- A <= B –问题 A 可简化为问题 B。
- A <=m B –问题 A 可以多对一简化为问题 B。
- A <=m B –问题 A 可以多项式方式简化为问题 B。
映射减少:
- 一个函数f : Σ1* → Σ2* 称为从 A 到 B 的映射约简,如果对于任何 w ∈ Σ1*,w ∈ A if(w) ∈ B。
- f 是一个可计算的函数。
- 直观地说,从 A 到 B 的映射缩减表示计算机可以将 A 的任何实例转换为 B 的实例,使得 B 的答案就是 A 的答案。
还原特性:
- 如果 A<=B,并且 A 是不可判定的,那么 B 也是不可判定的。
- 如果 A<=B,并且 B 是不可判定的,那么 A 不需要是不可判定的。
- 如果 A<=B,并且 A 是可判定的,则 B 不必是不可判定的。
- 如果 A<=B,并且 B 是可判定的,那么 A 也是可判定的。
- 如果 A<=B,并且 B 是递归的,那么 A 也是递归的。
- 如果 A<=B,并且 A 是递归的,则 B 不需要是递归的。
- 如果 A<=B,并且 B 是递归可枚举的,那么 A 也是递归可枚举的。
- 如果 A<=B,并且 A 是递归可枚举的,那么 B 不需要是递归可枚举的。
- 如果 A<=B,并且 B 是 P 问题,那么 A 也是 P 问题。
- 如果 A<=B,并且 A 是 P 问题,则 B 不必是 P 问题。
- 如果 A<=B,并且 B 是 NP 问题,那么 A 也是 NP 问题。
- 如果 A<=B,并且 A 是 P 问题,则 B 不必是 P 问题。
- 如果 A<=B 且 B<=P 则 A<=P(传递性)。
- 如果 A<=B 且 B<=A 则 A 和 B 是多项式等价的。
- 如果 A<=B 且 A 不是 REL,则 B 也不是 REL。
- 如果 A<=B,并且 A 不是 P 问题,那么 B 也不是 P 问题。
- 如果 A<=B 并且 A 不是递归问题,那么 B 也不是递归问题。
例子 -
1. A : t 4 – 1 ————- B : t2 – 1 , C : t2 + 1
在示例 1 中,因为 A 是可解的并且 B,CC也是可解的
since, ( t4 - 1 )= ( t2 - 1 ) * ( C : t2 + 1 )
2. A : L(D) = Σ* 吗? ———> 问题 A 可以简化为 B: L(D1) = Σ* – L(D 2)吗?
在示例中,B 是 A 的子集,因此 A 简化为问题 B。
3. A : L(G) = NULL 吗? ———> 问题 A 可以简化为 B:L(G1) 是 L(G2) 的子集吗?
如果将上述问题 A 简化为更简单的形式问题 B,则解决方案将很容易。
4. A : a3 + b3 + 3a2b + 3b2a --------------> A is reduced to B : ( a + b )3
If A reduces to B and B is “solvable,” then A is “solvable.”
5. L D减少到————-> 0* 1*
W是=01 和 W否= 10
那么 f(w) 的简化形式将是: f (w)={ 01 if w ∈ L D , 10 if w ∉ L D }
6. 找到与语法 G 等价的简化语法,具有产生式规则
P : S --> AC | B, A --> a, C --> c | BC, E --> aA | e
Phase 1 - T= {a ,c, e}, W1= {A,C,E}, W2= {A,C,E,S}, W3= {A,C,E,S}
G' = { (A,C,E,S), (A,C,E), P, (s) },
P: S --> AC , A --> a, C --> c, E --> aA | e
Phase 2 - Y1= {S} , Y2 = {S,A,C} , Y3= {S, A, C, a, c} , YL1 = { S, A, C, a, c }
G'' = { (A,C,S), (a,c), P, {S} },
P: S --> AC , A --> a, C --> c
7.问题 A(困难问题)——从新几内亚搬到亚马逊城。
(因为,我们知道他们是从新几内亚到加拿大的一种简单方式)所以,我们会将问题简化为更简单的方式。
问题 B(更简单的问题)——从加拿大搬到亚马逊城。
所以,很明显,如果我们能找到更简单的问题的解决方案,那么我们就可以用它来解决更难的问题。
8.给定问题 A:L 1 <=L 2和 L 2 <=L 3 –
- 如果L 2是可判定的,那么--> L 1是可判定的并且L 3是可判定的或不可判定的。
- 如果 L 2是不可判定的,那么 --> L1 是可判定的或不可判定的,而 L3 是不可判定的。