TOC中的约简定理

约简定理：
从 A 到 B 的归约是一个函数

f : Σ1* → Σ2* such that For any w ∈ Σ1*, w ∈ A if f(w) ∈ B

H 接受 w 如果 R 接受 f(w) 如果 f(w)∈ B 如果 w ∈ A

每个 w ∈ A 映射到某个 f(w) ∈ B。
每个 w ∉ A 映射到某个 f(w) ∉ B。
f 不必是单射或满射。

为什么减少很重要？
如果语言 A 简化为语言 B，我们可以使用 B 的识别器/共同识别器/决定器来识别/共同识别/决定问题 A。

如果 A 可简化为 B ( A<= B ) –

问题 A 很容易简化为问题 B，它清楚地表明——问题“B”至少与问题“A”一样难。

要么

∀x, x ∈ A, 如果 f(x) ∈ B;其中 f 是从 A 到 B 的多对一缩减，表示为( A <= _m B ) 。

A <= B –问题 A 可简化为问题 B。
A <=m B –问题 A 可以多对一简化为问题 B。
A <=m B –问题 A 可以多项式方式简化为问题 B。

映射减少：

一个函数f : Σ1* → Σ2* 称为从 A 到 B 的映射约简，如果对于任何 w ∈ Σ1*，w ∈ A if(w) ∈ B。
f 是一个可计算的函数。
直观地说，从 A 到 B 的映射缩减表示计算机可以将 A 的任何实例转换为 B 的实例，使得 B 的答案就是 A 的答案。

还原特性：

如果 A<=B，并且 A 是不可判定的，那么 B 也是不可判定的。
如果 A<=B，并且 B 是不可判定的，那么 A 不需要是不可判定的。
如果 A<=B，并且 A 是可判定的，则 B 不必是不可判定的。
如果 A<=B，并且 B 是可判定的，那么 A 也是可判定的。
如果 A<=B，并且 B 是递归的，那么 A 也是递归的。
如果 A<=B，并且 A 是递归的，则 B 不需要是递归的。
如果 A<=B，并且 B 是递归可枚举的，那么 A 也是递归可枚举的。
如果 A<=B，并且 A 是递归可枚举的，那么 B 不需要是递归可枚举的。
如果 A<=B，并且 B 是 P 问题，那么 A 也是 P 问题。
如果 A<=B，并且 A 是 P 问题，则 B 不必是 P 问题。
如果 A<=B，并且 B 是 NP 问题，那么 A 也是 NP 问题。
如果 A<=B，并且 A 是 P 问题，则 B 不必是 P 问题。
如果 A<=B 且 B<=P 则 A<=P（传递性）。
如果 A<=B 且 B<=A 则 A 和 B 是多项式等价的。
如果 A<=B 且 A 不是 REL，则 B 也不是 REL。
如果 A<=B，并且 A 不是 P 问题，那么 B 也不是 P 问题。
如果 A<=B 并且 A 不是递归问题，那么 B 也不是递归问题。

例子 -

1. A : t ^{4 – 1 ————- B : t2 – 1 , C : t2 + 1}
在示例 1 中，因为 A 是可解的并且 B,CC也是可解的

since, ( t4 - 1 )= ( t2 - 1 ) * ( C : t2 + 1 )

2. A : L(D) = Σ* 吗？ ———> 问题 A 可以简化为 B： L(D1) = Σ* – L(D ₂₎吗？
在示例中，B 是 A 的子集，因此 A 简化为问题 B。

3. A : L(G) = NULL 吗？ ———> 问题 A 可以简化为 B：L(G1) 是 L(G2) 的子集吗？
如果将上述问题 A 简化为更简单的形式问题 B，则解决方案将很容易。

4. A :  a3 + b3 + 3a2b + 3b2a --------------> A is reduced to B : ( a + b )3 
If A reduces to B and B is “solvable,” then A is “solvable.”

5. L _D减少到————-> 0* 1*
W_是=01 和 W_否= 10
那么 f(w) 的简化形式将是： f (w)={ 01 if w ∈ L _D , 10 if w ∉ L _D }

6. 找到与语法 G 等价的简化语法，具有产生式规则

P : S --> AC | B, A --> a, C --> c | BC, E --> aA | e

Phase 1 - T= {a ,c, e},  W1= {A,C,E},   W2= {A,C,E,S},  W3= {A,C,E,S}
           G' = { (A,C,E,S), (A,C,E), P, (s) },  
           P: S --> AC , A --> a, C --> c, E --> aA | e 
 Phase 2 -  Y1= {S}  ,  Y2 = {S,A,C}  ,  Y3= {S, A, C, a, c}  ,  YL1 = { S, A, C, a, c }
            G'' = { (A,C,S), (a,c), P, {S} },  
            P: S --> AC , A --> a, C --> c

7.问题 A（困难问题）——从新几内亚搬到亚马逊城。
（因为，我们知道他们是从新几内亚到加拿大的一种简单方式）所以，我们会将问题简化为更简单的方式。

问题 B（更简单的问题）——从加拿大搬到亚马逊城。
所以，很明显，如果我们能找到更简单的问题的解决方案，那么我们就可以用它来解决更难的问题。

8.给定问题 A：L ₁ <=L ₂和 L ₂ <=L ₃ –

如果L ₂是可判定的，那么--> L ₁是可判定的并且L ₃是可判定的或不可判定的。
如果 L ₂是不可判定的，那么 --> L1 是可判定的或不可判定的，而 L3 是不可判定的。