TOC中的基本定理(Myhill-Nerode定理)

简介

Myhill-Nerode定理是形式语言理论中一个很重要的定理，主要用于判定一个语言是否为正则语言。它提供了一种判定正则语言的方法：如果一个语言L的等价关系的索引集合为无限，则L不是正则语言。该定理的证明基于自动机和等价关系的概念。

等价关系和索引

在开始介绍定理之前，我们需要先了解一下等价关系和索引的概念。

等价关系

给定一个集合A，一个关系R是A上的等价关系，当且仅当它满足以下三个性质:

1. 自反性：对于任意的a∈A，aRa。
2. 对称性：对于任意的a,b∈A，如果aRb，则bRa。
3. 传递性：对于任意的a,b,c∈A，如果aRb且bRc，则aRc。

索引

给定一个集合A，一个索引是一个等价关系{≈0,≈1,≈2,...}，满足对于任意的i≥0和a,b∈A，a≈ib当且仅当a和b在关于集合A的某一个正则语言中区别不开。

Myhill-Nerode定理

现在，我们可以正式介绍Myhill-Nerode定理了。

定义

给定一个语言L，令a≈Lb表示字符串a和b在L中的行为不可区分（即a和b均可以被L接受或者均不能被L接受）。那么，等价关系≈L是关于L的索引，当且仅当对于所有的a,b∈Σ*，有a≈Lb当且仅当对于所有的c∈Σ*，ac∈L当且仅当bc∈L。

结论

如果一个语言L的等价关系的索引集合为无限，则L不是正则语言。反之，如果一个语言L是正则语言，则它的等价关系的索引集合是有限的。这个结论被称为Myhill-Nerode定理。

证明

该定理的证明需要构造一个称为Myhill-Nerode算法的过程。该算法通过遍历状态空间中的所有状态，来构建语言L的最小化DFA。

具体而言，我们首先定义一个状态p为DFA中的一个状态，如果对于任意的字符串x和y，x和y在L中的行为相同当且仅当$x\in L$且$y\in L$到达p的路径相同。

接下来，我们构造一个等价关系$\approx$，它满足x≈y当且仅当x和y在L中的行为不可区分且它们到达DFA的状态相同。这个等价关系有一个良好的特性，即对于任何一个非空的等价类X，如果有x∈X，则对于任何一个y∈X，都有x和y在L中行为相同（即x和y均可以被L接受或者均不能被L接受）。这个性质可以轻松地被证明。

我们再证明一个引理：任何两个不同的等价类在任何一个DFA的状态中都不能到达。事实上，如果两个不同的等价类X和Y在某一个状态p中是可达的，那么存在某个字符串s，使得s到达p的路径分别以一个x∈X和一个y∈Y结束。根据等价关系的定义，x和y在L中的行为不同，所以X和Y在L中的行为也不同。这个定理可以被用来证明，等价关系的索引集合为无限，则L不是正则语言。因为如果L是正则语言，它的DFA最多有|Σ|n个状态，那么它的等价关系的索引集合一定是有限的。所以，如果等价关系的索引集合为无限，则L不是正则语言。

总结

Myhill-Nerode定理为我们提供了一种简单而有力的工具，用于判定一个语言是否为正则语言。它通过定义等价关系和索引的概念，结合构造最小化DFA的方法，建立了从等价关系的索引集合到正则语言的唯一映射关系，为研究正则语言提供了非常重要的帮助。